Sejam
e
espaços vetoriais sobre
. Se
e
são transformações lineares, define-se a aplicação composta de
e
(notação:
) da seguinte maneira:
Mostre que
é uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a composição de duas transformações lineares,
, também é uma transformação linear. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais
,
e
sobre os números reais
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares e como elas se comportam quando compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
entre dois espaços vetoriais satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para todos em . - Homogeneidade:
para todo escalar e todo em .
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a composição
também satisfaz essas duas propriedades. Vamos fazer isso passo a passo.
Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
.
Como
é linear:
Então:
Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar
e um vetor
em
.
Como
é linear:
Então:
Resposta
Mostramos que
preserva tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ou seja,
é uma transformação linear.