Sejam U, V e W espaços vetoriais sobre R. Se T1: U V e T2: V W são transformações lineares, define-se a aplicação composta de T1 e T2 (notação: T2 circ T1 ) da seguinte maneira:
T2 circ T1: U & W u & mapsto(T2 circ T1)(u)=T2(T1(u))
Mostre que T2 circ T1 é uma transformação linear

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a composição de duas transformações lineares, , também é uma transformação linear. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais , e sobre os números reais . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares e como elas se comportam quando compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos em .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo em .
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a composição (T2 circ T1)(u + v) = T2(T1(u + v)) também satisfaz essas duas propriedades. Vamos fazer isso passo a passo.
Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer T1(u + v) = T1(u) + T1(v) e T2(T1(u) + T1(v)) = T2(T1(u)) + T2(T1(v)) = (T2 circ T1)(u) + (T2 circ T1)(v) em (T2 circ T1)(cu) = T2(T1(cu)) .
T1(cu) = cT1(u)
Como T2(cT1(u)) = cT2(T1(u)) = c(T2 circ T1)(u) é linear:
Então:
Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar e um vetor em .
Como é linear:
Então:

Resposta

Mostramos que preserva tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ou seja, é uma transformação linear.

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