Sejam e espaços vetoriais sobre . Se e são transformações lineares, define-se a aplicação composta de e (notação: ) da seguinte maneira:
Mostre que é uma transformação linear

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a composição de duas transformações lineares, , também é uma transformação linear. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais , e sobre os números reais . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares e como elas se comportam quando compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos em .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo em .
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a composição também satisfaz essas duas propriedades. Vamos fazer isso passo a passo.
Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em .
Como é linear:
Então:
Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar e um vetor em .
Como é linear:
Então:

Resposta

Mostramos que preserva tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ou seja, é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Use a base de autovetores para diagonalizar a matriz .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão:
Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial :
(b) Mostre que , quaisquer que sejam .
Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e e é perpendicular ao plano .
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(b) é um espaço vetorial complexo?