Sejam . Calcule a distância do ponto ao plano .
(a) (b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância de um ponto a um plano . A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente o cálculo da distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender a fórmula que nos dá essa distância diretamente a partir das coordenadas do ponto e da equação do plano.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a). Temos o ponto e o plano dado pela equação . A fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano é:
Passo 3
Identificando os valores na equação do plano , temos:
E as coordenadas do ponto são .
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula da distância:
Vamos calcular passo a passo:
No denominador:
Passo 5
Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar a distância:
Passo 6
Agora vamos para o item (b). O ponto é e o plano está dado de forma paramétrica:
Para usar a fórmula da distância, precisamos primeiro encontrar a equação geral do plano.
Passo 7
Primeiro, identificamos um ponto no plano e dois vetores diretores. O ponto está no plano. Os vetores diretores são:
Para encontrar a equação do plano, precisamos encontrar o vetor normal que é perpendicular aos dois vetores diretores. Isso é feito calculando o produto vetorial .
Passo 8
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
n = i (0) - j (-1) + k (-512 ) = (0, 1, -512)
Passo 9
Agora que temos o vetor normal 0(x - 0) + 1(y + 5) - 512(z - 0) = 0 e um ponto y + 5 - 512 z = 0 no plano, podemos escrever a equação do plano na forma:
12y + 60 - 5z = 0
Simplificando:
12y - 5z + 60 = 0
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Passo 10
Agora temos a equação do plano na forma geral: d = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 . Podemos aplicar novamente a fórmula da distância para o ponto :