Sejam . Calcule a distância do ponto ao plano .
(a) (b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância de um ponto a um plano . A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente o cálculo da distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender a fórmula que nos dá essa distância diretamente a partir das coordenadas do ponto e da equação do plano.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Temos o ponto e o plano dado pela equação . A fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano é:

Passo 3

Identificando os valores na equação do plano , temos:
E as coordenadas do ponto são .

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula da distância:
Vamos calcular passo a passo:
No denominador:

Passo 5

Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar a distância:

Passo 6

Agora vamos para o item (b). O ponto é e o plano está dado de forma paramétrica:
Para usar a fórmula da distância, precisamos primeiro encontrar a equação geral do plano.

Passo 7

Primeiro, identificamos um ponto no plano e dois vetores diretores. O ponto está no plano. Os vetores diretores são:
Para encontrar a equação do plano, precisamos encontrar o vetor normal que é perpendicular aos dois vetores diretores. Isso é feito calculando o produto vetorial .

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos o vetor normal e um ponto no plano, podemos escrever a equação do plano na forma:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 10

Agora temos a equação do plano na forma geral: . Podemos aplicar novamente a fórmula da distância para o ponto :
Identificando os valores:

Passo 11

Aplicando na fórmula:

Resposta

A distância do ponto ao plano é aproximadamente unidades.

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Sejam e e duas transformações lineares dadas por e . Sendo o operador idêntico (ou identidade) do , isto é, . Verifique se é um automorfismo do . Se for, determine o automorfismo inverso.
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(b) é um espaço vetorial complexo?
Mostre que a transformação linear , definida por é um automorfismo e determine .
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(d) e , sendo dados.