Sejam lambda in R. Calcule a distância do ponto P ao plano pi.
(a) P=(0 ; 0 ;-6), pi: x-2 y-2 z-6=0 ; (b) P=(9 ; 2 ;-2), pi: X=(0 ;-5 ; 0)+lambda(0 ; 512 ; 1)+ mu(1 ; 0 ; 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância de um ponto a um plano . A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente o cálculo da distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender a fórmula que nos dá essa distância diretamente a partir das coordenadas do ponto e da equação do plano.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Temos o ponto d = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 e o plano dado pela equação . A fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano é:

Passo 3

Identificando os valores na equação do plano , temos:
E as coordenadas do ponto são .

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula da distância:
d = |1 cdot 0 + (-2) cdot 0 + (-2) cdot (-6) - 6|raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2
Vamos calcular passo a passo:
1 cdot 0 = 0
-2 cdot 0 = 0
-2 cdot (-6) = 12
Numerador = |0 + 0 + 12 - 6| = |6| = 6
No denominador:
raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 5

Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar a distância:
d = 63 = 2

Passo 6

Agora vamos para o item (b). O ponto é pi: X = (0, -5, 0) + lambda (0, 512, 1) + mu (1, 0, 0) e o plano está dado de forma paramétrica:
Para usar a fórmula da distância, precisamos primeiro encontrar a equação geral do plano.

Passo 7

Primeiro, identificamos um ponto no plano e dois vetores diretores. O ponto v1 = (0, 512, 1) e v2 = (1, 0, 0) está no plano. Os vetores diretores são:
Para encontrar a equação do plano, precisamos encontrar o vetor normal que é perpendicular aos dois vetores diretores. Isso é feito calculando o produto vetorial .

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
n = v1 times v2 = i & j & k 0 & 512 & 1 1 & 0 & 0 = i ( 512 cdot 0 - 1 cdot 0 ) - j ( 0 cdot 0 - 1 cdot 1 ) + k ( 0 cdot 0 - 512 cdot 1 )
Simplificando:
n = i (0) - j (-1) + k (-512 ) = (0, 1, -512)

Passo 9

Agora que temos o vetor normal 0(x - 0) + 1(y + 5) - 512(z - 0) = 0 e um ponto y + 5 - 512 z = 0 no plano, podemos escrever a equação do plano na forma:
12y + 60 - 5z = 0
Simplificando:
12y - 5z + 60 = 0
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 10

Agora temos a equação do plano na forma geral: d = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 . Podemos aplicar novamente a fórmula da distância para o ponto :
Identificando os valores:

Passo 11

Aplicando na fórmula:
d = |0 cdot 9 + 12 cdot 2 + (-5) cdot (-2) + 60|raiz0^2 + 12^2 + (-5)^2 = |0 + 24 + 10 + 60|raiz0 + 144 + 25 = 94raiz169 = 9413 approx 7,23

Resposta

A distância do ponto ao plano é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados