Sejam e e duas transformações lineares dadas por e . Sendo o operador idêntico (ou identidade) do , isto é, . Verifique se é um automorfismo do . Se for, determine o automorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe envolve transformações lineares entre espaços vetoriais. Temos duas transformações lineares dadas:
definida por
definida por
Além disso, temos o operador identidade em , que simplesmente retorna o vetor original: .
O que precisamos fazer é verificar se a combinação é um automorfismo de . Um automorfismo é uma transformação linear invertível, ou seja, que possui uma transformação inversa. Se for um automorfismo, também precisamos encontrar essa inversa.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
Composição de Transformações Lineares: Como combinar e para formar .
Soma de Transformações Lineares: Como somar com .
Automorfismos e Inversas: Como determinar se uma transformação é invertível e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a composição . Isso significa que aplicamos primeiro e depois no resultado de .
Dado um vetor :
Aplicamos :
Agora aplicamos no resultado de :
Vamos simplificar cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Então, .
Passo 3
Agora, vamos somar com o operador identidade . Lembrando que , temos:
Vamos simplificar cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Portanto, .
Passo 4
Agora, queremos verificar se essa transformação é um automorfismo de . Para isso, precisamos verificar se ela é invertível. Uma transformação linear é invertível se e somente se sua matriz associada é invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Vamos encontrar a matriz associada à transformação .
A transformação é dada por:
Podemos escrever essa transformação como uma matriz multiplicada pelo vetor :
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível.
Passo 5
Calculando o determinante da matriz :
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, vamos calcular:
Calculando cada menor:
Agora, substituindo:
Como o determinante , a matriz é invertível. Portanto, a transformação é um automorfismo de .
Passo 6
Agora que sabemos que é um automorfismo, vamos encontrar sua transformação inversa. Para isso, precisamos encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz identidade.
A matriz que já temos é:
Para encontrar , podemos usar a fórmula do inverso para matrizes 3x3:
Já calculamos que , então .
Agora, precisamos encontrar a adjugate de , que é a matriz dos cofatores transposta.
Vamos calcular os cofatores:
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a adjugate de é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, o inverso de é:
Portanto, a transformação inversa é dada pela matriz :
Ou seja:
Resposta
Sim, é um automorfismo de . A transformação inversa é dada por: