Sejam e F: R^3 R^2 e T: R^2 R^3 duas transformações lineares dadas por F(x, y, z)= (x-y, y-z) e T(x, y)=(x-y, y-x, x+y). Sendo I o operador idêntico (ou identidade) do R^3, isto é, I(x, y, z)=(x, y, z). Verifique se (T circ F)+I é um automorfismo do R^3. Se for, determine o automorfismo inverso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe envolve transformações lineares entre espaços vetoriais. Temos duas transformações lineares dadas:
  • definida por
  • definida por
Além disso, temos o operador identidade em , que simplesmente retorna o vetor original: .
O que precisamos fazer é verificar se a combinação é um automorfismo de . Um automorfismo é uma transformação linear invertível, ou seja, que possui uma transformação inversa. Se for um automorfismo, também precisamos encontrar essa inversa.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Composição de Transformações Lineares: Como combinar e para formar .
  2. Soma de Transformações Lineares: Como somar com .
  3. Automorfismos e Inversas: Como determinar se uma transformação é invertível e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a composição . Isso significa que aplicamos primeiro e depois no resultado de .
Dado um vetor :
  1. Aplicamos :
  2. Agora aplicamos no resultado de :
Vamos simplificar cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos somar (T circ F) + I = (x - 2y + z + x, -x + 2y - z + y, x - z + z) com o operador identidade . Lembrando que , temos:
Vamos simplificar cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Portanto, .

Passo 4

Agora, queremos verificar se essa transformação (x, y, z) mapsto (2x - 2y + z, -x + 3y - z, x) é um automorfismo de A = 2 & -2 & 1 -1 & 3 & -1 1 & 0 & 0 . Para isso, precisamos verificar se ela é invertível. Uma transformação linear é invertível se e somente se sua matriz associada é invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Vamos encontrar a matriz associada à transformação .
A transformação é dada por:
Podemos escrever essa transformação como uma matriz multiplicada pelo vetor :
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz A = 2 & -2 & 1 -1 & 3 & -1 1 & 0 & 0 :
det(A) = 2 cdot 3 & -1 0 & 0 - (-2) cdot -1 & -1 1 & 0 + 1 cdot -1 & 3 1 & 0
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, vamos calcular:
3 & -1 0 & 0
Calculando cada menor:
  1. -1 & -1 1 & 0
  2. -1 & 3 1 & 0
  3. det(A) = 2 cdot 0 - (-2) cdot 1 + 1 cdot (-3) = 0 + 2 - 3 = -1
Agora, substituindo:
Como o determinante , a matriz é invertível. Portanto, a transformação é um automorfismo de .

Passo 6

Agora que sabemos que A = 2 & -2 & 1 -1 & 3 & -1 1 & 0 & 0 é um automorfismo, vamos encontrar sua transformação inversa. Para isso, precisamos encontrar uma matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) tal que 3 & -1 0 & 0 = (3)(0) - (-1)(0) = 0 , onde -1 & -1 1 & 0 = (-1)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1 Rightarrow C12 = -1 é a matriz identidade.
A matriz -1 & 3 1 & 0 = (-1)(0) - (3)(1) = 0 - 3 = -3 que já temos é:
-2 & 1 0 & 0 = (-2)(0) - (1)(0) = 0
Para encontrar 2 & 1 1 & 0 = (2)(0) - (1)(1) = 0 - 1 = -1 Rightarrow C22 = -1 , podemos usar a fórmula do inverso para matrizes 3x3:
2 & -2 1 & 0 = (2)(0) - (-2)(1) = 0 + 2 = 2 Rightarrow C23 = -2
Já calculamos que -2 & 1 3 & -1 = (-2)(-1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1 , então 2 & 1 -1 & -1 = (2)(-1) - (1)(-1) = -2 + 1 = -1 Rightarrow C32 = 1 .
Agora, precisamos encontrar a adjugate de 2 & -2 -1 & 3 = (2)(3) - (-2)(-1) = 6 - 2 = 4 , que é a matriz dos cofatores transposta.
Vamos calcular os cofatores:
Cofator Cof(A) = 0 & -1 & -3 0 & -1 & -2 -1 & 1 & 4 :
adj(A) = 0 & 0 & -1 -1 & -1 & 1 -3 & -2 & 4
Cofator A^-1 = 1-1 cdot 0 & 0 & -1 -1 & -1 & 1 -3 & -2 & 4 = 0 & 0 & 1 1 & 1 & -1 3 & 2 & -4 :
((T circ F) + I)^-1(x, y, z) = (0x + 0y + z, x + y - z, 3x + 2y - 4z)
Cofator ((T circ F) + I)^-1(x, y, z) = (z, x + y - z, 3x + 2y - 4z) :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a adjugate de é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, o inverso de é:
Portanto, a transformação inversa é dada pela matriz :
Ou seja:

Resposta

Sim, ((T circ F) + I)^-1(x, y, z) = (z, x + y - z, 3x + 2y - 4z) é um automorfismo de . A transformação inversa é dada por:

Exercícios relacionados