Sejam e e duas transformações lineares dadas por e . Sendo o operador idêntico (ou identidade) do , isto é, . Verifique se é um automorfismo do . Se for, determine o automorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe envolve transformações lineares entre espaços vetoriais. Temos duas transformações lineares dadas:
definida por
definida por
Além disso, temos o operador identidade em , que simplesmente retorna o vetor original: .
O que precisamos fazer é verificar se a combinação é um automorfismo de . Um automorfismo é uma transformação linear invertível, ou seja, que possui uma transformação inversa. Se for um automorfismo, também precisamos encontrar essa inversa.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
Composição de Transformações Lineares: Como combinar e para formar .
Soma de Transformações Lineares: Como somar com .
Automorfismos e Inversas: Como determinar se uma transformação é invertível e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a composição . Isso significa que aplicamos primeiro e depois no resultado de .
Dado um vetor :
Aplicamos :
Agora aplicamos no resultado de :
Vamos simplificar cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Então, .
Passo 3
Agora, vamos somar com o operador identidade . Lembrando que , temos:
Vamos simplificar cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Portanto, .
Passo 4
Agora, queremos verificar se essa transformação é um automorfismo de . Para isso, precisamos verificar se ela é invertível. Uma transformação linear é invertível se e somente se sua matriz associada é invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Vamos encontrar a matriz associada à transformação .
A transformação é dada por:
Podemos escrever essa transformação como uma matriz multiplicada pelo vetor :
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível.
Passo 5
Calculando o determinante da matriz A = 2 & -2 & 1 -1 & 3 & -1 1 & 0 & 0 :