Considere F(A, B)=f: A B ; f é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
© F(C, R) é um espaço vetorial real?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tá vendo hoje sobre espaços vetoriais, que é um conceito da álgebra linear. O exercício pergunta se o conjunto F(C, R), que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos C para os números reais R, forma um espaço vetorial sobre os números reais. Pra resolver isso, a gente precisa lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, os números reais R) é um conjunto onde a gente pode somar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar desse corpo, e que essas operações seguem certas regras, como a comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, e assim por diante.

Passo 3

No caso de F(C, R), as operações de soma e multiplicação por escalar são definidas ponto a ponto. Ou seja, se você tem duas funções f e g em F(C, R), a soma f + g é a função que, para cada z in C, tem valor (f + g)(z) = f(z) + g(z). E para um escalar real a, a multiplicação a cdot f é a função que, para cada z in C, tem valor (a cdot f)(z) = a cdot f(z).

Passo 4

Agora, a gente precisa verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Vamos ver alguns deles:
  1. Fechamento sob a soma: A soma de duas funções de F(C, R) também é uma função de C para R.
  2. Existência do elemento neutro: A função que sempre retorna zero, f(z) = 0 para todo z in C, é o elemento neutro.
  3. Existência de inversos aditivos: Para cada função f, existe uma função -f tal que f + (-f) = 0.
  4. Associatividade e comutatividade da soma: A soma de funções é associativa e comutativa.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar real funciona direitinho com as funções.
  6. Distribuição: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma de funções e sobre a soma de escalares.
Como todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações definidas em F(C, R), a gente pode concluir que esse conjunto, com essas operações, forma um espaço vetorial real.

Resposta

Sim, F(C, R) é um espaço vetorial sobre os números reais, pois satisfaz todos os axiomas necessários para um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto.

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