Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
© é um espaço vetorial real?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tá vendo hoje sobre espaços vetoriais, que é um conceito da álgebra linear. O exercício pergunta se o conjunto , que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos para os números reais , forma um espaço vetorial sobre os números reais. Pra resolver isso, a gente precisa lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, os números reais ) é um conjunto onde a gente pode somar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar desse corpo, e que essas operações seguem certas regras, como a comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, e assim por diante.

Passo 3

No caso de , as operações de soma e multiplicação por escalar são definidas ponto a ponto. Ou seja, se você tem duas funções e em , a soma é a função que, para cada , tem valor . E para um escalar real , a multiplicação é a função que, para cada , tem valor .

Passo 4

Agora, a gente precisa verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Vamos ver alguns deles:
  1. Fechamento sob a soma: A soma de duas funções de também é uma função de para .
  2. Existência do elemento neutro: A função que sempre retorna zero, para todo , é o elemento neutro.
  3. Existência de inversos aditivos: Para cada função , existe uma função tal que .
  4. Associatividade e comutatividade da soma: A soma de funções é associativa e comutativa.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar real funciona direitinho com as funções.
  6. Distribuição: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma de funções e sobre a soma de escalares.
Como todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações definidas em , a gente pode concluir que esse conjunto, com essas operações, forma um espaço vetorial real.

Resposta

Sim, é um espaço vetorial sobre os números reais, pois satisfaz todos os axiomas necessários para um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto.

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Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
os vértices , e os focos ;
Verifique os axiomas da associatividade e comutatividade do espaço vetorial real , com as operações usuais. Exiba uma base e dê a dimensão.
Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se é subespaço vetorial de e são tais que e , então .
Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(f)