Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
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é um espaço vetorial real?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tá vendo hoje sobre espaços vetoriais, que é um conceito da álgebra linear. O exercício pergunta se o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos
para os números reais
, forma um espaço vetorial sobre os números reais. Pra resolver isso, a gente precisa lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, os números reais
) é um conjunto onde a gente pode somar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar desse corpo, e que essas operações seguem certas regras, como a comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, e assim por diante.
Passo 3
No caso de
, as operações de soma e multiplicação por escalar são definidas ponto a ponto. Ou seja, se você tem duas funções
e
em
, a soma
é a função que, para cada
, tem valor
. E para um escalar real
, a multiplicação
é a função que, para cada
, tem valor
.
Passo 4
Agora, a gente precisa verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Vamos ver alguns deles:
- Fechamento sob a soma: A soma de duas funções de
também é uma função de para . - Existência do elemento neutro: A função que sempre retorna zero,
para todo , é o elemento neutro. - Existência de inversos aditivos: Para cada função
, existe uma função tal que . - Associatividade e comutatividade da soma: A soma de funções é associativa e comutativa.
- Compatibilidade da multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar real funciona direitinho com as funções.
- Distribuição: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma de funções e sobre a soma de escalares.
Como todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações definidas em
, a gente pode concluir que esse conjunto, com essas operações, forma um espaço vetorial real.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial sobre os números reais, pois satisfaz todos os axiomas necessários para um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto.
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Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
os vértices , e os focos
;
os vértices
Verifique os axiomas da associatividade e comutatividade do espaço vetorial real
, com as operações usuais. Exiba uma base e dê a dimensão.
Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se é subespaço vetorial de
e
são tais que
e
, então
.
(a) Se
Resolva os sistemas lineares
abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(f)
(f)