Verifique os axiomas da associatividade e comutatividade do espaço vetorial real
, com as operações usuais. Exiba uma base e dê a dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o espaço vetorial real
satisfaz os axiomas de associatividade e comutatividade, usar as operações normais de vetores, e também mostrar uma base para
além de determinar sua dimensão. Basicamente, vamos trabalhar com matrizes 2x2 que têm a forma dada e usar conceitos de álgebra linear para resolver tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os axiomas de associatividade e comutatividade no contexto de espaços vetoriais.
- Associatividade da adição: Para quaisquer vetores
, temos . - Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores
, temos .
Vamos verificar esses dois axiomas para o espaço
dado.
Passo 3
Vamos considerar três matrizes quaisquer em
:
onde
.
Passo 4
Verificando a associatividade da adição:
Vamos calcular
e
e ver se são iguais.
Primeiro, somamos
:
Agora, somamos esse resultado com
:
Agora, vamos calcular
:
E depois somamos
:
Como
, a associatividade está confirmada.
Passo 5
Verificando a comutatividade da adição:
Vamos ver se
.
Calculando
:
E calculando
:
Como
, a comutatividade também está confirmada.
Passo 6
Agora, vamos exibir uma base para
e determinar sua dimensão.
A base fornecida no enunciado é:
Para confirmar que é realmente uma base, precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes e se elas geram todo o espaço
.
Se considerarmos uma combinação linear:
Isso cobre todas as matrizes em
da forma
, já que
e
.
Além disso, como temos duas matrizes e o espaço é gerado por elas, a dimensão de
é 2.
Resposta
Os axiomas de associatividade e comutatividade estão satisfeitos no espaço vetorial
. Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.
Exercícios relacionados
Dadas as transformações lineares
, definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
determine:
i) o núcleo de
ii) o espaço imagem de
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
os vértices , e os focos
;
os vértices
Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
© é um espaço vetorial real?
©