Verifique os axiomas da associatividade e comutatividade do espaço vetorial real , com as operações usuais. Exiba uma base e dê a dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o espaço vetorial real satisfaz os axiomas de associatividade e comutatividade, usar as operações normais de vetores, e também mostrar uma base para além de determinar sua dimensão. Basicamente, vamos trabalhar com matrizes 2x2 que têm a forma dada e usar conceitos de álgebra linear para resolver tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os axiomas de associatividade e comutatividade no contexto de espaços vetoriais.
  • Associatividade da adição: Para quaisquer vetores , temos .
  • Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores , temos .
Vamos verificar esses dois axiomas para o espaço dado.

Passo 3

Vamos considerar três matrizes quaisquer em :
onde .

Passo 4

Verificando a associatividade da adição:
Vamos calcular e e ver se são iguais.
Primeiro, somamos :
Agora, somamos esse resultado com :
Agora, vamos calcular :
E depois somamos :
Como , a associatividade está confirmada.

Passo 5

Verificando a comutatividade da adição:
Vamos ver se .
Calculando :
E calculando :
Como , a comutatividade também está confirmada.

Passo 6

Agora, vamos exibir uma base para e determinar sua dimensão.
A base fornecida no enunciado é:
Para confirmar que é realmente uma base, precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes e se elas geram todo o espaço .
Se considerarmos uma combinação linear:
Isso cobre todas as matrizes em da forma , já que e .
Além disso, como temos duas matrizes e o espaço é gerado por elas, a dimensão de é 2.

Resposta

Os axiomas de associatividade e comutatividade estão satisfeitos no espaço vetorial . Uma base para é e a dimensão de é 2.

Exercícios relacionados

Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
os vértices , e os focos ;
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
© é um espaço vetorial real?