Verifique os axiomas da associatividade e comutatividade do espaço vetorial real V, com as operações usuais. Exiba uma base e dê a dimensão.
V=[cc a & a+b a & b ]: a, b in R betav=[ll 1 & 1 1 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 1 ] ; dim V=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o espaço vetorial real satisfaz os axiomas de associatividade e comutatividade, usar as operações normais de vetores, e também mostrar uma base para além de determinar sua dimensão. Basicamente, vamos trabalhar com matrizes 2x2 que têm a forma dada e usar conceitos de álgebra linear para resolver tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os axiomas de associatividade e comutatividade no contexto de espaços vetoriais.
  • Associatividade da adição: Para quaisquer vetores , temos .
  • Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores , temos .
Vamos verificar esses dois axiomas para o espaço dado.

Passo 3

Vamos considerar três matrizes quaisquer em U = a & a + b a & b , V = c & c + d c & d , W = e & e + f e & f :
onde .

Passo 4

Verificando a associatividade da adição:
Vamos calcular U + V = a + c & (a + b) + (c + d) a + c & b + d = a + c & a + b + c + d a + c & b + d e (U + V) + W = (a + c) + e & (a + b + c + d) + (e + f) (a + c) + e & (b + d) + f = a + c + e & a + b + c + d + e + f a + c + e & b + d + f e ver se são iguais.
Primeiro, somamos V + W = c + e & (c + d) + (e + f) c + e & d + f = c + e & c + d + e + f c + e & d + f :
U + (V + W) = a + (c + e) & (a + b) + (c + d + e + f) a + (c + e) & b + (d + f) = a + c + e & a + b + c + d + e + f a + c + e & b + d + f
Agora, somamos esse resultado com :
Agora, vamos calcular :
E depois somamos :
Como , a associatividade está confirmada.

Passo 5

Verificando a comutatividade da adição:
Vamos ver se U + V = a + c & (a + b) + (c + d) a + c & b + d = a + c & a + b + c + d a + c & b + d .
Calculando V + U = c + a & (c + d) + (a + b) c + a & d + b = a + c & a + b + c + d a + c & b + d :
E calculando :
Como , a comutatividade também está confirmada.

Passo 6

Agora, vamos exibir uma base para betav = 1 & 1 1 & 0 , 0 & 1 0 & 1 e determinar sua dimensão.
A base fornecida no enunciado é:
k1 1 & 1 1 & 0 + k2 0 & 1 0 & 1 = k1 & k1 + k2 k1 & k2
Para confirmar que é realmente uma base, precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes e se elas geram todo o espaço a & a + b a & b .
Se considerarmos uma combinação linear:
Isso cobre todas as matrizes em da forma , já que e .
Além disso, como temos duas matrizes e o espaço é gerado por elas, a dimensão de é 2.

Resposta

Os axiomas de associatividade e comutatividade estão satisfeitos no espaço vetorial 1 & 1 1 & 0 . Uma base para 0 & 1 0 & 1 é e a dimensão de é 2.

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