Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
os vértices
, e os focos
;
os vértices
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre hipérboles. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole que tem seus vértices em
e seus focos em
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como a distância entre os vértices e os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos da hipérbole. Sabemos que os vértices são os pontos mais próximos ao centro da hipérbole, e os focos são pontos dentro da hipérbole que ajudam a definir sua forma. No caso, os vértices estão em
e os focos em
.
Passo 3
A forma padrão da equação de uma hipérbole com o centro na origem e eixos ao longo do eixo x é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
é a distância do centro aos focos. Além disso, a relação entre
,
e
é dada por:
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
. Os vértices estão em
, então a distância
é 2. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
. Os focos estão em
, então a dist��ncia
é 3. Portanto:
Passo 6
Usando a relação
, substituímos os valores de
e
para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos os valores de
e
, podemos substituir na equação padrão da hipérbole:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: