Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
os vértices , e os focos ;

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre hipérboles. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole que tem seus vértices em e seus focos em . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como a distância entre os vértices e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da hipérbole. Sabemos que os vértices são os pontos mais próximos ao centro da hipérbole, e os focos são pontos dentro da hipérbole que ajudam a definir sua forma. No caso, os vértices estão em e os focos em .

Passo 3

A forma padrão da equação de uma hipérbole com o centro na origem e eixos ao longo do eixo x é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e é a distância do centro aos focos. Além disso, a relação entre , e é dada por:

Passo 4

Vamos encontrar o valor de . Os vértices estão em , então a distância é 2. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de . Os focos estão em , então a dist��ncia é 3. Portanto:

Passo 6

Usando a relação , substituímos os valores de e para encontrar :

Passo 7

Agora que temos os valores de e , podemos substituir na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Verifique os axiomas da associatividade e comutatividade do espaço vetorial real , com as operações usuais. Exiba uma base e dê a dimensão.
Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
© é um espaço vetorial real?
Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se é subespaço vetorial de e são tais que e , então .