Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
os vértices ( pm 2,0), e os focos ( pm 3,0);

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre hipérboles. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole que tem seus vértices em (pm 2,0) e seus focos em (pm 3,0). Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como a distância entre os vértices e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da hipérbole. Sabemos que os vértices são os pontos mais próximos ao centro da hipérbole, e os focos são pontos dentro da hipérbole que ajudam a definir sua forma. No caso, os vértices estão em (pm 2,0) e os focos em (pm 3,0).

Passo 3

A forma padrão da equação de uma hipérbole com o centro na origem e eixos ao longo do eixo x é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro aos vértices, e c é a distância do centro aos focos. Além disso, a relação entre a, b e c é dada por:
c^2 = a^2 + b^2

Passo 4

Vamos encontrar o valor de a. Os vértices estão em (pm 2,0), então a distância a é 2. Portanto:
a = 2

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de c. Os focos estão em (pm 3,0), então a dist��ncia c é 3. Portanto:
c = 3

Passo 6

Usando a relação c^2 = a^2 + b^2, substituímos os valores de a e c para encontrar b:
3^2 = 2^2 + b^2 9 = 4 + b^2 b^2 = 9 - 4 b^2 = 5

Passo 7

Agora que temos os valores de a^2 e b^2, podemos substituir na equação padrão da hipérbole:
x^24 - y^25 = 1

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^24 - y^25 = 1

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