Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se é subespaço vetorial de e são tais que e , então .
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação: “Se é um subespaço vetorial de e são tais que e , então .”
Esse problema está relacionado ao estudo de subespaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver, precisamos verificar se a soma de dois vetores que não estão no subespaço também não pertence a . Vamos ver se isso sempre acontece ou se há exceções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar alguns conceitos básicos. Um subespaço vetorial de é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades:
Contém o vetor zero: .
É fechado sob adição: Se , então .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Agora, a afirmação sugere que se dois vetores e não estão em , então sua soma também não está em . Vamos investigar se isso é sempre verdade.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um contraexemplo, ou seja, um caso em que e não est��o em , mas está em . Se conseguirmos isso, a afirmação será falsa.
Considere o espaço vetorial e seja o subespaço que corresponde ao eixo , ou seja, .
Escolha os vetores:
Observamos que:
porque a segunda coordenada é 1, diferente de 0.
porque a segunda coordenada é -1, diferente de 0.
Agora, somando e :
O vetor resultante está em , pois a segunda coordenada é 0.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, no espaço , se for o eixo , os vetores e não pertencem a , mas sua soma está em .