Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se
é subespaço vetorial de
e
são tais que
e
, então
.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação: “Se
é um subespaço vetorial de
e
são tais que
e
, então
.”
Esse problema está relacionado ao estudo de subespaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver, precisamos verificar se a soma de dois vetores que não estão no subespaço também não pertence a
. Vamos ver se isso sempre acontece ou se há exceções.
Esse problema está relacionado ao estudo de subespaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver, precisamos verificar se a soma de dois vetores que não estão no subespaço
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar alguns conceitos básicos. Um subespaço vetorial
de
é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades:
- Contém o vetor zero:
. - É fechado sob adição: Se
, então . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Agora, a afirmação sugere que se dois vetores
e
não estão em
, então sua soma
também não está em
. Vamos investigar se isso é sempre verdade.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um contraexemplo, ou seja, um caso em que
e
não est��o em
, mas
está em
. Se conseguirmos isso, a afirmação será falsa.
Considere o espaço vetorial
e seja
o subespaço que corresponde ao eixo
, ou seja,
.
Escolha os vetores:
Observamos que:
-
porque a segunda coordenada é 1, diferente de 0. -
porque a segunda coordenada é -1, diferente de 0.
Agora, somando
e
:
O vetor resultante
está em
, pois a segunda coordenada é 0.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, no espaço
, se
for o eixo
, os vetores
e
não pertencem a
, mas sua soma
está em
.