Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se é subespaço vetorial de e são tais que e , então .

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: “Se é um subespaço vetorial de e são tais que e , então .”
Esse problema está relacionado ao estudo de subespaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver, precisamos verificar se a soma de dois vetores que não estão no subespaço também não pertence a . Vamos ver se isso sempre acontece ou se há exceções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar alguns conceitos básicos. Um subespaço vetorial de é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. É fechado sob adição: Se , então .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Agora, a afirmação sugere que se dois vetores e não estão em , então sua soma também não está em . Vamos investigar se isso é sempre verdade.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um contraexemplo, ou seja, um caso em que e não est��o em , mas está em . Se conseguirmos isso, a afirmação será falsa.
Considere o espaço vetorial e seja o subespaço que corresponde ao eixo , ou seja, .
Escolha os vetores:
Observamos que:
  • porque a segunda coordenada é 1, diferente de 0.
  • porque a segunda coordenada é -1, diferente de 0.
Agora, somando e :
O vetor resultante está em , pois a segunda coordenada é 0.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, no espaço , se for o eixo , os vetores e não pertencem a , mas sua soma está em .

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(f)
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