Considere a função definida por .
a) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função definida por:
Aqui, estamos lidando com funções por partes, que são funções definidas por diferentes expressões dependendo do valor de . Para esboçar o gráfico, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se juntam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função: para .
  • Quadrado de x: Sabemos que é uma parábola que abre para cima, com o vértice na origem (0,0).
  • Intervalo: Essa parte vale para todos os que são menores ou iguais a 1. Isso significa que vamos desenhar a parábola até o ponto onde .
Vamos calcular alguns pontos para ajudar no esboço:
  • Quando ,
  • Quando ,
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: para .
  • Constante: Aqui, a função é sempre igual a 2, independentemente do valor de , desde que seja maior que 1.
  • Intervalo: Vamos desenhar uma reta horizontal no nível de para todos os maiores que 1.
Para visualizar, podemos determinar pontos:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 4

Vamos agora juntar as duas partes para formar o esboço completo do gráfico:
  1. Parábola :
    • Começa em com , desce até com , e sobe novamente até com .
    • Inclui o ponto com um ponto fechado porque está incluído na primeira parte.
  2. Reta horizontal :
    • Começa imediatamente após , mas não inclui o ponto , já que .
    • Geralmente, representamos isso com um círculo aberto em na altura de .

Resposta

Então, o gráfico da função é composto por uma parábola que vai até e uma reta horizontal que se estende para . No ponto , a parábola atinge e a reta horizontal começa logo depois, sem conectar diretamente com o ponto .
Visualmente, fica assim:
  1. Parábola: Uma curva que começa no ponto , passa por , , e chega até com um círculo preenchido indicando que esse ponto está incluído.
  2. Reta Horizontal: Começa imediatamente após e vai para a direita, mantendo , com um círculo aberto em para mostrar que esse ponto não está incluído.

Exercícios relacionados

Seja . Determine o ponto do gráfico da curva dada, em que a reta tangente, neste ponto, seja paralela ao eixo .
Considere definida por .
b) Existem e ?
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
a)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)