Considere
dada por
.
b) Se
é dada por
, determine também
.
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções:
- Função
: Ela mapeia números naturais ( ) para números reais ( ) e é definida por . - Função
: Também mapeia para e é dada por .
Nosso objetivo é determinar a imagem da função
, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções estão definidas e aplicar um pouco de álgebra básica para simplificar a expressão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da função
:
Isso significa que para cada número natural
,
será
multiplicado por
, o que alterna o sinal dependendo se
é par ou ímpar.
Passo 3
Agora, vamos escrever a expressão para
utilizando a definição dada:
Substituindo
e
pela definição de
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que
. Então podemos reescrever
da seguinte forma:
Agora, fatoramos
:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Agora que temos
simplificado, podemos analisar sua imagem
. A expressão final é:
Isso significa que para cada
,
será
multiplicado por
, alternando assim entre valores positivos e negativos.
Resposta
A imagem da função
é o conjunto de todos os números da forma
para
. Portanto,
Exercícios relacionados
Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.
Determine a imagem das seguintes funções:
a) dada por
.
a)
(k)
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
b)
b)