Considere f: N -> R dada por f(n)=(-1)^n * n.
b) Se g: N → R é dada por g(n) = f(n+1) - f(n), determine também Im g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções:
  • Função : Ela mapeia números naturais ( ) para números reais ( ) e é definida por .
  • Função : Também mapeia para e é dada por .
Nosso objetivo é determinar a imagem da função , ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções estão definidas e aplicar um pouco de álgebra básica para simplificar a expressão de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da função :
Isso significa que para cada número natural , será multiplicado por , o que alterna o sinal dependendo se é par ou ímpar.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão para utilizando a definição dada:
Substituindo e pela definição de :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que . Então podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, fatoramos :
Simplificando os sinais:

Passo 5

Agora que temos simplificado, podemos analisar sua imagem . A expressão final é:
Isso significa que para cada , será multiplicado por , alternando assim entre valores positivos e negativos.

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números da forma para . Portanto,

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