Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as curvas de nível da função e representá-las no plano cartesiano. Curvas de nível são linhas onde a função assume um valor constante. Para isso, vamos usar conceitos de matemática básica de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para uma função é o conjunto de pontos onde , sendo uma constante. Isso significa que todos esses pontos têm o mesmo valor de .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , igualamos a função a uma constante :
Nosso objetivo é expressar em função de para facilitar a representação gráfica.

Passo 4

Resolvendo a equação para :
Então, a curva de nível é uma reta com inclinação 1 e intercepto .

Passo 5

Cada valor diferente de nos dá uma reta paralela às outras, já que todas têm o mesmo coeficiente angular (1). Por exemplo:
  • Se , a reta é
  • Se , a reta é
  • Se , a reta é

Passo 6

Para representar no plano cartesiano, desenhamos várias dessas retas com diferentes valores de . Todas serão paralelas entre si, subindo na mesma inclinação.

Resposta

As curvas de nível da função são retas da forma , onde é uma constante. No plano cartesiano, essas curvas são várias retas paralelas com inclinação 1 e diferentes interceptos no eixo .

Exercícios relacionados

Determine a imagem das seguintes funções:
a) dada por .
Escreva o domínio máximo das seguintes funções como união de intervalos:
d)
Considere dada por .
b) Se é dada por , determine também .
(k)