Considere a função f(x) = a x^2 + b x.
(a) Usando a definição de derivada, calcule f'(1) em função de a e b.

Passo 1

Então, a gente tem a função . A questão pede para a gente calcular a derivada dessa função no ponto usando a definição de derivada. Vamos precisar entender como calcular derivadas a partir da definição básica, que é essencial para entender como as funções mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Isso basicamente nos diz a inclinação da tangente à curva da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para calcular . Primeiro, substituímos por 1 na definição:

Passo 4

Precisamos calcular e . Vamos fazer isso:

Passo 5

Substituímos e na expressão da derivada:

Passo 6

Vamos expandir :
Substituindo de volta:

Passo 7

Distribuímos os termos:

Passo 8

Simplificamos os termos semelhantes:

Passo 9

Fatoramos no numerador:
Cancelamos :

Passo 10

Agora, tiramos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada é igual a .

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Calcule as derivadas das seguintes funções.
© f(x) = cotg(x) / (4 - x^2)
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(d) f(x) = (x + 2) * raiz3((x - 3)^2)
Considere f: R -> R dada por f(x) = { -x^2 + 9 se x > 3, x^2 - 9 se x <= 3 }.
(b) Usando a definição, determine as derivadas laterais f_+'(3) e f_'(3).
Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(d) f(x) = x^2 - x, x = 1