Considere a função
.
(a) Usando a definição de derivada, calcule
em função de
e
.
(a) Usando a definição de derivada, calcule
Passo 1
Então, a gente tem a função
. A questão pede para a gente calcular a derivada dessa função no ponto
usando a definição de derivada. Vamos precisar entender como calcular derivadas a partir da definição básica, que é essencial para entender como as funções mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso basicamente nos diz a inclinação da tangente à curva da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso para calcular
. Primeiro, substituímos
por 1 na definição:
Passo 4
Precisamos calcular
e
. Vamos fazer isso:
Passo 5
Substituímos
e
na expressão da derivada:
Passo 6
Vamos expandir
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Distribuímos os termos:
Passo 8
Simplificamos os termos semelhantes:
Passo 9
Fatoramos
no numerador:
Cancelamos
:
Passo 10
Agora, tiramos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das seguintes funções.
©
©
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(d)
(d)
Considere
dada por
.
(b) Usando a definição, determine as derivadas laterais e
.
(b) Usando a definição, determine as derivadas laterais
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada:
(d)
(d)