Considere
definida por
.
(a) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
, que são paralelas à reta de equação
.
(b) Encontre a intersecção da reta tangente ao gráfico de
em
com o eixo
.
(a) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
(b) Encontre a intersecção da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico dessa função que são paralelas à reta
. Além disso, também vamos descobrir onde a reta tangente no ponto
intercepta o eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das tangentes e a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma reta paralela a
tem a mesma inclinação. A inclinação da reta
é 1, já que ela pode ser escrita como
. Então, queremos encontrar as tangentes à função
que também têm inclinação 1.
Passo 3
Para encontrar a inclinação das tangentes à função
, precisamos calcular a derivada de
. A derivada
nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Agora, queremos que a inclinação da tangente seja 1. Então, igualamos a derivada a 1 e resolvemos para
:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 6
Então, encontramos dois valores de
:
Agora, para cada valor de
, vamos encontrar o valor correspondente de
usando
e depois montar a equação da reta tangente.
Passo 7
Vamos calcular
:
(Efetuar esse cálculo nos dará o ponto de tangência, mas para simplificar, vamos manter a expressão simbólica.)
Da mesma forma, fazemos para
.
Passo 8
Agora, usando a forma da equação da reta tangente:
Onde
(a inclinação que queremos) e
são os pontos de tangência encontrados.
Então, teremos duas equações das retas tangentes:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a intersecção da reta tangente no ponto
com o eixo
.
Primeiro, encontramos a inclinação da tangente em
calculando
:
Então, a inclinação
.
Passo 10
Com a inclinação e o ponto
, usamos a forma da equação da reta:
Substituindo:
Passo 11
Para encontrar a intersecção com o eixo
, colocamos
na equação da reta:
Então, a intersecção ocorre no ponto
.
Resposta
(a) As equações das retas tangentes ao gráfico de
paralelas a
são:
(b) A reta tangente ao gráfico de
no ponto
intercepta o eixo
no ponto
.