Considere f: R -> R definida por f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3.
(a) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f, que são paralelas à reta de equação y = x.
(b) Encontre a intersecção da reta tangente ao gráfico de f em P = (0,3) com o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico dessa função que são paralelas à reta . Além disso, também vamos descobrir onde a reta tangente no ponto intercepta o eixo . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das tangentes e a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma reta paralela a tem a mesma inclinação. A inclinação da reta é 1, já que ela pode ser escrita como . Então, queremos encontrar as tangentes à função que também têm inclinação 1.

Passo 3

Para encontrar a inclinação das tangentes à função , precisamos calcular a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Agora, queremos que a inclinação da tangente seja 1. Então, igualamos a derivada a 1 e resolvemos para :

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Então, encontramos dois valores de :
Agora, para cada valor de , vamos encontrar o valor correspondente de usando e depois montar a equação da reta tangente.

Passo 7

Vamos calcular :
(Efetuar esse cálculo nos dará o ponto de tangência, mas para simplificar, vamos manter a expressão simbólica.)
Da mesma forma, fazemos para .

Passo 8

Agora, usando a forma da equação da reta tangente:
Onde (a inclinação que queremos) e são os pontos de tangência encontrados.
Então, teremos duas equações das retas tangentes:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a intersecção da reta tangente no ponto com o eixo .
Primeiro, encontramos a inclinação da tangente em calculando :
Então, a inclinação .

Passo 10

Com a inclinação e o ponto , usamos a forma da equação da reta:
Substituindo:

Passo 11

Para encontrar a intersecção com o eixo , colocamos na equação da reta:
Então, a intersecção ocorre no ponto .

Resposta

(a) As equações das retas tangentes ao gráfico de paralelas a são:
(b) A reta tangente ao gráfico de no ponto intercepta o eixo no ponto .

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