Dada a função , faça o que se pede:
(a) Calcule ;
(b) Determine onde intercepta os eixos e ;
© Com base nessas informações, tente esboçar o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função . A gente precisa resolver três coisas:
  1. Calcular o limite de quando vai para mais ou menos infinito.
  2. Encontrar onde a função intercepta os eixos e .
  3. Com base nessas informações, desenhar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites, interseções de funções com os eixos e esboço de gráficos de funções racionais.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): calcular .
Quando temos uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, o limite quando vai para o infinito depende dos graus dos polinômios.
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau ( ). Quando os graus são iguais, o limite é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
No nosso caso:
  • Coeficiente líder do numerador: -5
  • Coeficiente líder do denominador: 1
Então,

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): determinar onde intercepta os eixos e .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , basta calcular .
Substituindo na função:
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , precisamos resolver .
A função será zero quando o numerador for zero (desde que o denominador não seja zero nesse ponto).
Igualando o numerador a zero:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos para o item ©: esboçar o gráfico de com base nas informações que encontramos.
Resumo das informações:
  • Limites no infinito: . Isso significa que a função tem uma assíntota horizontal em .
  • Interseção com o eixo : .
  • Interseções com o eixo : e .
Passos para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos cartesianas.
  2. Trace a assíntota horizontal em .
  3. Marque os pontos de interseção: , e .
  4. Observe o comportamento da função próximo aos valores de e à assíntota:
    • À medida que vai para ou , se aproxima de .
    • A função cruza o eixo em e o eixo em e .
  5. Conecte esses pontos de forma suave, lembrando que a função se aproxima da assíntota horizontal em ambas as extremidades.
Observações adicionais:
  • Verifique se há assíntotas verticais, resolvendo quando o denominador é zero:
Então, há assíntotas verticais em e . Porém, note que já é uma interseção com o eixo , então nesse ponto a função cruza a assíntota vertical.

Resposta

(a)
(b) A função intercepta o eixo no ponto e o eixo nos pontos e .
© O gráfico de possui uma assíntota horizontal em , assíntotas verticais em e , cruza o eixo em e o eixo em e . Com base nisso, o esboço do gráfico segue essas características.

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E)
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(b) Encontre a intersecção da reta tangente ao gráfico de em com o eixo .