Dada a função f(x)=-5 x^2+50 x+375x^2-20 x+75, faça o que se pede:
(a) Calcule lim x pm infty f(x);
(b) Determine onde f intercepta os eixos x e y;
© Com base nessas informações, tente esboçar o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função . A gente precisa resolver três coisas:
  1. Calcular o limite de quando vai para mais ou menos infinito.
  2. Encontrar onde a função intercepta os eixos e .
  3. Com base nessas informações, desenhar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites, interseções de funções com os eixos e esboço de gráficos de funções racionais.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): calcular limx to pminfty f(x) = -51 = -5 .
Quando temos uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, o limite quando vai para o infinito depende dos graus dos polinômios.
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau ( ). Quando os graus são iguais, o limite é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
No nosso caso:
  • Coeficiente líder do numerador: -5
  • Coeficiente líder do denominador: 1
Então,

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): determinar onde f(0) = -5(0)^2 + 50(0) + 375(0)^2 - 20(0) + 75 = 37575 = 5 intercepta os eixos -5x^2 + 50x + 375 = 0 Dividindo todos os termos por -5: x^2 - 10x - 75 = 0 e x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-75)2 cdot 1 = 10 pm raiz100 + 3002 = 10 pm raiz4002 raiz400 = 20 Então, ( x = 10 + 202 = 15 ) e ( x = 10 - 202 = -5 ) .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , basta calcular .
Substituindo na função:
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , precisamos resolver .
A função será zero quando o numerador for zero (desde que o denominador não seja zero nesse ponto).
Igualando o numerador a zero:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos para o item ©: esboçar o gráfico de x^2 - 20x + 75 = 0 x = 20 pm raiz400 - 3002 = 20 pm raiz1002 = 20 pm 102 x = 15 e x = 5 com base nas informações que encontramos.
Resumo das informações:
  • Limites no infinito: . Isso significa que a função tem uma assíntota horizontal em .
  • Interseção com o eixo : .
  • Interseções com o eixo : e .
Passos para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos cartesianas.
  2. Trace a assíntota horizontal em .
  3. Marque os pontos de interseção: , e .
  4. Observe o comportamento da função próximo aos valores de e à assíntota:
    • À medida que vai para ou , se aproxima de .
    • A função cruza o eixo em e o eixo em e .
  5. Conecte esses pontos de forma suave, lembrando que a função se aproxima da assíntota horizontal em ambas as extremidades.
Observações adicionais:
  • Verifique se há assíntotas verticais, resolvendo quando o denominador é zero:
Então, há assíntotas verticais em e . Porém, note que já é uma interseção com o eixo , então nesse ponto a função cruza a assíntota vertical.

Resposta

(a)
(b) A função intercepta o eixo no ponto e o eixo nos pontos e .
© O gráfico de possui uma assíntota horizontal em , assíntotas verticais em e , cruza o eixo em e o eixo em e . Com base nisso, o esboço do gráfico segue essas características.

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