Dada a função
, faça o que se pede:
(a) Calcule
;
(b) Determine onde
intercepta os eixos
e
;
© Com base nessas informações, tente esboçar o gráfico de
.
(a) Calcule
(b) Determine onde
© Com base nessas informações, tente esboçar o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função
. A gente precisa resolver três coisas:
- Calcular o limite de
quando vai para mais ou menos infinito. - Encontrar onde a função intercepta os eixos
e . - Com base nessas informações, desenhar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites, interseções de funções com os eixos e esboço de gráficos de funções racionais.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a): calcular
.
Quando temos uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, o limite quando
vai para o infinito depende dos graus dos polinômios.
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau (
). Quando os graus são iguais, o limite é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
No nosso caso:
- Coeficiente líder do numerador: -5
- Coeficiente líder do denominador: 1
Então,
Passo 3
Agora, vamos para o item (b): determinar onde
intercepta os eixos
e
.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , basta calcular
.
Para encontrar onde a função intercepta o eixo
Substituindo
na função:
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , precisamos resolver
.
Para encontrar onde a função intercepta o eixo
A função será zero quando o numerador for zero (desde que o denominador não seja zero nesse ponto).
Igualando o numerador a zero:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as interseções com o eixo
são nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos para o item ©: esboçar o gráfico de
com base nas informações que encontramos.
Resumo das informações:
- Limites no infinito:
. Isso significa que a função tem uma assíntota horizontal em . - Interseção com o eixo
: . - Interseções com o eixo
: e .
Passos para esboçar o gráfico:
- Desenhe os eixos cartesianas.
- Trace a assíntota horizontal em
. - Marque os pontos de interseção:
, e . - Observe o comportamento da função próximo aos valores de
e à assíntota: - À medida que
vai para ou , se aproxima de . - A função cruza o eixo
em e o eixo em e .
- À medida que
- Conecte esses pontos de forma suave, lembrando que a função se aproxima da assíntota horizontal em ambas as extremidades.
Observações adicionais:
- Verifique se há assíntotas verticais, resolvendo quando o denominador é zero:
Então, há assíntotas verticais em
e
. Porém, note que
já é uma interseção com o eixo
, então nesse ponto a função cruza a assíntota vertical.
Resposta
(a)
(b) A função intercepta o eixo
no ponto
e o eixo
nos pontos
e
.
© O gráfico de
possui uma assíntota horizontal em
, assíntotas verticais em
e
, cruza o eixo
em
e o eixo
em
e
. Com base nisso, o esboço do gráfico segue essas características.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
E)
E)
Resolva as seguintes equações:
Considere
definida por
.
(a) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de , que são paralelas à reta de equação
.
(b) Encontre a intersecção da reta tangente ao gráfico de em
com o eixo
.
(a) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
(b) Encontre a intersecção da reta tangente ao gráfico de