Resolva as integrais abaixo: integral x sen^2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x sen^2(x) , dx. Esse exercício pertence ao estudo de Cálculo Integral, especificamente integração por partes e identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a identidade trigonométrica para sen^2(x) e aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sen^2(x) usando a identidade trigonométrica:
sen^2(x) = 1 - cos(2x)2
Isso nos ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral:
integral x sen^2(x) , dx = integral x ( 1 - cos(2x)2 ) dx = 12 integral x (1 - cos(2x)) , dx
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 4

Dividimos a integral:
12 ( integral x , dx - integral x cos(2x) , dx )
A primeira integral é direta, e a segunda requer integração por partes.

Passo 5

Resolvendo a primeira integral:
integral x , dx = x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver integral x cos(2x) , dx usando integração por partes. Lembre-se que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = x du = dx
  • dv = cos(2x) , dx v = sin(2x)2

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral x cos(2x) , dx = x cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 , dx = x sin(2x)2 - 12 ( -cos(2x)2 ) + C
Simplificando:
= x sin(2x)2 + cos(2x)4 + C

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
12 ( x^22 - ( x sin(2x)2 + cos(2x)4 ) ) + C
Simplificando:
= x^24 - x sin(2x)4 - cos(2x)8 + C

Resposta

A integral de x sen^2(x) é:
integral x sen^2(x) , dx = x^24 - x sin(2x)4 - cos(2x)8 + C

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