Considere
uma Transformação Linear definida por
: ache
, seguida exiba uma base e a dimensão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a imagem da transformação linear
definida por
. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com transformações lineares, imagens, bases e dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem de uma transformação linear, como determinar uma base para esse espaço e como calcular sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear
consiste em todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a vetores de
. Ou seja,
Vamos expressar
de forma mais detalhada:
Passo 3
Agora, para encontrar a imagem, precisamos ver quais combinações de
,
e
podemos obter variando
,
e
. Podemos escrever isso como uma combinação linear:
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma combinação dos vetores
e
.
Passo 4
Assim, a imagem de
é o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores:
Isso quer dizer que a imagem é um espaço vetorial gerado por esses dois vetores.
Passo 5
Para determinar uma base para a imagem, precisamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base.
Suponha que existam escalares
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é
e
, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores
e
são linearmente independentes e geram a imagem de
, eles formam uma base para
.
Passo 7
A dimensão da imagem é o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de
é 2.
Resposta
A imagem de
é o espaço gerado pelos vetores
e
. Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.