Considere f: R^3 R^3 uma Transformação Linear definida por f(x, y, z)=(z, x-y,-z) : ache Im f, seguida exiba uma base e a dimensão de Im f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a imagem da transformação linear definida por . A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com transformações lineares, imagens, bases e dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem de uma transformação linear, como determinar uma base para esse espaço e como calcular sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear Im f = f(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 consiste em todos os vetores que podem ser obtidos aplicando f(x, y, z) = (z, x - y, -z) a vetores de . Ou seja,
Vamos expressar de forma mais detalhada:

Passo 3

Agora, para encontrar a imagem, precisamos ver quais combinações de f(x, y, z) = z(1, 0, -1) + (x - y)(0, 1, 0) , e podemos obter variando , e . Podemos escrever isso como uma combinação linear:
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma combinação dos vetores e .

Passo 4

Assim, a imagem de Im f = span, (1, 0, -1), (0, 1, 0) , é o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores:
Isso quer dizer que a imagem é um espaço vetorial gerado por esses dois vetores.

Passo 5

Para determinar uma base para a imagem, precisamos verificar se os vetores a(1, 0, -1) + b(0, 1, 0) = (0, 0, 0) e a = 0 são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base.
Suponha que existam escalares b = 0 e - a = 0 tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como os vetores e são linearmente independentes e geram a imagem de , eles formam uma base para .

Passo 7

A dimensão da imagem é o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

A imagem de é o espaço gerado pelos vetores e . Uma base para é e a dimensão de é 2.

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