Sejam A=(1,2,-1), B=(-1,1,-1) e C=(2,-1,1) são três pontos em base ortonormal E=(imath, jmath, k) e M, N, P são pontos médios dos lados B C, A C, A B. Usando produto escalar calcule
a: Comprimentos dos lados de triangulo A B C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . O lance é calcular os comprimentos dos lados do triângulo , ou seja, as distâncias entre e , e , e e . Para isso, vamos usar produto escalar para encontrar o comprimento de cada lado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar a distância entre dois pontos no espaço. A distância entre dois pontos e é igual ao comprimento do vetor . Para calcular o comprimento desse vetor, usamos o produto escalar.

Passo 3

O produto escalar de um vetor consigo mesmo dá o quadrado do seu comprimento. Ou seja, se v cdot v = a^2 + b^2 + c^2 = ||v||^2 , então:
Portanto, para achar o comprimento , tiramos a raiz quadrada de .

Passo 4

Vamos começar calculando o comprimento do lado AB = B - A = (-1 - 1, 1 - 2, -1 - (-1)) = (-2, -1, 0) . Primeiro, encontramos o vetor AB cdot AB = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5 :
||AB|| = raiz5
Agora, calculamos o produto escalar de consigo mesmo:
Então, o comprimento de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento do lado BC = C - B = (2 - (-1), -1 - 1, 1 - (-1)) = (3, -2, 2) . Primeiro, achamos o vetor BC cdot BC = 3^2 + (-2)^2 + 2^2 = 9 + 4 + 4 = 17 :
||BC|| = raiz17
Calculando o produto escalar de consigo mesmo:
Então, o comprimento de é:

Passo 6

Por último, vamos calcular o comprimento do lado AC = C - A = (2 - 1, -1 - 2, 1 - (-1)) = (1, -3, 2) . Primeiro, encontramos o vetor AC cdot AC = 1^2 + (-3)^2 + 2^2 = 1 + 9 + 4 = 14 :
||AC|| = raiz14
Calculando o produto escalar de consigo mesmo:
Então, o comprimento de é:

Resposta

Os comprimentos dos lados do triângulo ||AB|| = raiz5, ||BC|| = raiz17, ||AC|| = raiz14 são:

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