Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação, e justifique sua resposta:
f) A B=C D Rightarrow A C cap B D=emptyset

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: “Se o vetor A B é igual ao vetor C D, então os segmentos A C e B D não se interceptam.” Esse exercício envolve conceitos de vetores e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem iguais e como verificar a interseção de segmentos de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A B = C D. Dois vetores são iguais se tiverem a mesma magnitude (tamanho) e a mesma direção. Isso implica que os pontos A, B, C e D estão dispostos de forma que o deslocamento de A para B é igual ao deslocamento de C para D.

Passo 3

Agora, precisamos investigar se a igualdade dos vetores A B e C D garante que os segmentos A C e B D não se interceptam. Para isso, vamos considerar um exemplo.

Passo 4

Imagine os pontos A (0,0), B (1,1), C (1,0) e D (2,1). Calculando os vetores:
A B = (1-0, 1-0) = (1,1)
C D = (2-1, 1-0) = (1,1)
Então, A B = C D.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os segmentos A C e B D se interceptam. Os segmentos A C vai de (0,0) a (1,0) e B D vai de (1,1) a (2,1). Esses segmentos são paralelos e estão em linhas diferentes, então não se interceptam neste caso específico.

Passo 6

No entanto, vamos alterar um pouco os pontos. Se considerarmos A (0,0), B (1,1), C (1,1) e D (2,2), temos:
A B = (1,1)
C D = (1,1)
Novamente, A B = C D.

Passo 7

Agora, os segmentos A C vai de (0,0) a (1,1) e B D vai de (1,1) a (2,2). Eles se intersectam no ponto (1,1).

Passo 8

Isso mostra que, embora A B = C D, os segmentos A C e B D podem sim se interceptar.

Resposta

A afirmação é falsa, pois mesmo com A B = C D, os segmentos A C e B D podem se interceptar.

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