Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos duas funções vetoriais, e , além de uma função real , todas definidas no mesmo intervalo . A missão é mostrar que, se os limites dessas funções quando se aproxima de existem e são , e respectivamente, então o limite do produto vetorial de e também existe e é igual ao produto vetorial de e . Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam com operações vetoriais, especificamente o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma função vetorial é calculado componente a componente. Isso significa que se e têm componentes e respectivamente, então:
Isso nos permite trabalhar com cada componente separadamente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos aplicar o limite nessa expressão. Como os limites das funções componentes de e existem, podemos distribuir o limite sobre as operações de subtração e multiplicação (porque os limites respeitam as operações algébricas básicas). Então temos: