Considere f(t) e g(t) duas funções vetoriais e h(t) uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se lim t t0 f(t)=a, lim t t0 g(t)=b e lim t t0 h(t)=m, então lim t t0 f(t) times g(t)=a times b

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos duas funções vetoriais, f(t) e g(t), além de uma função real h(t), todas definidas no mesmo intervalo I. A missão é mostrar que, se os limites dessas funções quando t se aproxima de t0 existem e são a, b e m respectivamente, então o limite do produto vetorial de f(t) e g(t) também existe e é igual ao produto vetorial de a e b. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam com operações vetoriais, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma função vetorial é calculado componente a componente. Isso significa que se f(t) e g(t) têm componentes f1(t), f2(t), f3(t) e g1(t), g2(t), g3(t) respectivamente, então:
limt t0 f(t) = a implies limt t0 fi(t) = ai para i=1,2,3
limt t0 g(t) = b implies limt t0 gi(t) = bi para i=1,2,3
Isso nos permite trabalhar com cada componente separadamente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto vetorial f(t) times g(t). O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
f(t) times g(t) = i & j & k f1(t) & f2(t) & f3(t) g1(t) & g2(t) & g3(t)
Isso resulta em:
f(t) times g(t) = ( f2(t)g3(t) - f3(t)g2(t) )i - ( f1(t)g3(t) - f3(t)g1(t) )j + ( f1(t)g2(t) - f2(t)g1(t) )k

Passo 4

Vamos aplicar o limite nessa expressão. Como os limites das funções componentes de f(t) e g(t) existem, podemos distribuir o limite sobre as operações de subtração e multiplicação (porque os limites respeitam as operações algébricas básicas). Então temos:
limt t0 f(t) times g(t) = limt t0 ( f2(t)g3(t) - f3(t)g2(t) )i - limt t0 ( f1(t)g3(t) - f3(t)g1(t) )j + limt t0 ( f1(t)g2(t) - f2(t)g1(t) )k
Como os limites das funções componentes existem:
= ( a2 b3 - a3 b2 )i - ( a1 b3 - a3 b1 )j + ( a1 b2 - a2 b1 )k
Isso é exatamente o produto vetorial de a e b:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3

Resposta

Portanto, mostramos que:
limt t0 f(t) times g(t) = a times b

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