Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos duas funções vetoriais, e , além de uma função real , todas definidas no mesmo intervalo . A missão é mostrar que, se os limites dessas funções quando se aproxima de existem e são , e respectivamente, então o limite do produto vetorial de e também existe e é igual ao produto vetorial de e . Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam com operações vetoriais, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma função vetorial é calculado componente a componente. Isso significa que se e têm componentes e respectivamente, então:
Isso nos permite trabalhar com cada componente separadamente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Isso resulta em:

Passo 4

Vamos aplicar o limite nessa expressão. Como os limites das funções componentes de e existem, podemos distribuir o limite sobre as operações de subtração e multiplicação (porque os limites respeitam as operações algébricas básicas). Então temos:
Como os limites das funções componentes existem:
Isso é exatamente o produto vetorial de e :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Considere a função vetorial e tais que exista . Prove que
Sejam e , com e e . Calcular:
Mostre que a curva com equações paramétricas passa pelo ponto e não passa pelo ponto .
Dada a função vetorial , determinar . Esboce a curva C, cujos pontos têm como vetor posição, e calcule os vetores tangentes e .