Dada a função vetorial f(t) = t^3 * i - t^2 * j, determinar f'(t). Esboce a curva C, cujos pontos têm f(t) como vetor posição, e calcule os vetores tangentes f'(1) e f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função vetorial . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial tem sua derivada calculada derivando cada componente em relação a . Ou seja, .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função:
  • A componente em é . A derivada de em relação a é .
  • A componente em é . A derivada de em relação a é .
Então, a derivada da função vetorial é:

Passo 4

Agora, para esboçar a curva que tem como vetor posição, podemos pensar em como mapeando cada valor de para um ponto no plano. Isso resulta em uma curva parametrizada pelas equações:
Podemos observar que, à medida que varia, e mudam de acordo com essas funções. O gráfico dessa curva será uma parábola invertida no eixo .

Passo 5

Por último, vamos calcular os vetores tangentes e substituindo por 1 e 0 na derivada que encontramos:
Para :
Para :

Resposta

A derivada da função vetorial é . Os vetores tangentes são e . A curva é uma parábola invertida no plano, definida pelas equações e .

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