Dada a função vetorial , determinar . Esboce a curva C, cujos pontos têm como vetor posição, e calcule os vetores tangentes e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função vetorial . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial tem sua derivada calculada derivando cada componente em relação a . Ou seja, .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função:
  • A componente em é . A derivada de em relação a é .
  • A componente em é . A derivada de em relação a é .
Então, a derivada da função vetorial é:

Passo 4

Agora, para esboçar a curva que tem como vetor posição, podemos pensar em como mapeando cada valor de para um ponto no plano. Isso resulta em uma curva parametrizada pelas equações:
Podemos observar que, à medida que varia, e mudam de acordo com essas funções. O gráfico dessa curva será uma parábola invertida no eixo .

Passo 5

Por último, vamos calcular os vetores tangentes e substituindo por 1 e 0 na derivada que encontramos:
Para :
Para :

Resposta

A derivada da função vetorial é . Os vetores tangentes são e . A curva é uma parábola invertida no plano, definida pelas equações e .

Exercícios relacionados

Mostre que a curva com equações paramétricas passa pelo ponto e não passa pelo ponto .
Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então
Sejam e , com e e . Calcular:
Seja uma função vetorial e um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que se, e só se, .