Dada a função vetorial
, determinar
. Esboce a curva C, cujos pontos têm
como vetor posição, e calcule os vetores tangentes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função vetorial
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial
tem sua derivada calculada derivando cada componente em relação a
. Ou seja,
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função:
- A componente em
é . A derivada de em relação a é . - A componente em
é . A derivada de em relação a é .
Então, a derivada da função vetorial é:
Passo 4
Agora, para esboçar a curva
que tem
como vetor posição, podemos pensar em
como mapeando cada valor de
para um ponto no plano. Isso resulta em uma curva parametrizada pelas equações:
Podemos observar que, à medida que
varia,
e
mudam de acordo com essas funções. O gráfico dessa curva será uma parábola invertida no eixo
.
Passo 5
Por último, vamos calcular os vetores tangentes
e
substituindo
por 1 e 0 na derivada que encontramos:
Para
:
Para
:
Resposta
A derivada da função vetorial é
. Os vetores tangentes são
e
. A curva
é uma parábola invertida no plano, definida pelas equações
e
.
Exercícios relacionados
Mostre que a curva com equações paramétricas
passa pelo ponto
e não passa pelo ponto
.
Considere
e
duas funções vetoriais e
uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se
e
, então
Sejam
e
, com
e
e
. Calcular:
Seja
uma função vetorial e
um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que
se, e só se,
.