Mostre que a curva com equações paramétricas passa pelo ponto e não passa pelo ponto .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma curva parametrizada pelas equações , , e passa pelo ponto e não passa pelo ponto . Vamos usar conceitos de matemática relacionados a funções paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a curva passa pelo ponto . Para isso, precisamos encontrar um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente com os valores do ponto dado.

Passo 3

Começamos substituindo na equação :
Resolvendo, temos .

Passo 4

Agora, testamos esses valores de nas outras equações para ver se correspondem aos valores de e .
Para :
Então, não funciona.
Para :
Os valores de e correspondem ao ponto quando .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a curva não passa pelo ponto . Para isso, tentamos encontrar um valor de que satisfaça , , e .
Substituindo na equação :
Resolvendo, .

Passo 6

Testamos esses valores de nas outras equações.
Para :
Para :
Em ambos os casos, pelo menos uma das coordenadas não coincide.

Resposta

Portanto, a curva passa pelo ponto e não passa pelo ponto .

Exercícios relacionados

Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então
Considere a função vetorial e tais que exista . Prove que
Dada a função vetorial , determinar . Esboce a curva C, cujos pontos têm como vetor posição, e calcule os vetores tangentes e .
Sejam e , com e e . Calcular: