Mostre que a curva com equações paramétricas x = t^2, y = 1 - 3t e z = 1 + t^3 passa pelo ponto 1,4,0 e não passa pelo ponto (4, 7, -6).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma curva parametrizada pelas equações , , e passa pelo ponto e não passa pelo ponto . Vamos usar conceitos de matemática relacionados a funções paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a curva passa pelo ponto . Para isso, precisamos encontrar um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente com os valores do ponto dado.

Passo 3

Começamos substituindo na equação :
Resolvendo, temos .

Passo 4

Agora, testamos esses valores de nas outras equações para ver se correspondem aos valores de e .
Para :
Então, não funciona.
Para :
Os valores de e correspondem ao ponto quando .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a curva não passa pelo ponto . Para isso, tentamos encontrar um valor de que satisfaça , , e .
Substituindo na equação :
Resolvendo, .

Passo 6

Testamos esses valores de nas outras equações.
Para :
Para :
Em ambos os casos, pelo menos uma das coordenadas não coincide.

Resposta

Portanto, a curva passa pelo ponto e não passa pelo ponto .

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