Considere
. Calcule a transformada de Laplace de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da função
, que vale 1 quando
e 0 quando
. Nosso objetivo aqui é entender um pouquinho sobre transformadas de Laplace e aplicar isso para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta muito legal usada para transformar funções no tempo (
) para o domínio da frequência (
). Basicamente, ela nos ajuda a resolver equações diferenciais de um jeito mais fácil. A fórmula da transformada de Laplace para uma função
é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função
. Como
para
e
para
, podemos ajustar os limites da integral. Ou seja, a integral só precisa ir de 0 a 1, porque depois de 1 a função é zero e não contribui:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é
. Vamos calcular de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 5
Vamos juntar os termos para deixar a expressão mais simples:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Resolver o PVI
: usando transformada de Laplace.
Considere
. Expresse
em termos da função degrau unitário.
Calcule.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona é convergente.