Considere . Calcule a transformada de Laplace de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da função , que vale 1 quando e 0 quando . Nosso objetivo aqui é entender um pouquinho sobre transformadas de Laplace e aplicar isso para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta muito legal usada para transformar funções no tempo ( ) para o domínio da frequência ( ). Basicamente, ela nos ajuda a resolver equações diferenciais de um jeito mais fácil. A fórmula da transformada de Laplace para uma função é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função . Como para e para , podemos ajustar os limites da integral. Ou seja, a integral só precisa ir de 0 a 1, porque depois de 1 a função é zero e não contribui:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de em relação a é . Vamos calcular de 0 a 1:
Simplificando:

Passo 5

Vamos juntar os termos para deixar a expressão mais simples:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Considere . Expresse em termos da função degrau unitário.
Calcule.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona é convergente.