Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona é convergente.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Toda sequência monótona é convergente.” Isso está ligado aos conceitos de sequências monótonas e convergência das sequências. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e quando ela é convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é crescente ou decrescente. Isso significa que, se for crescente, cada termo é maior ou igual ao anterior, e se for decrescente, cada termo é menor ou igual ao anterior.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre convergência. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor limite conforme os termos avançam. Para uma sequência monótona ser convergente, ela também precisa ser limitada, ou seja, não pode crescer ou decrescer sem limites.

Passo 4

A afirmação diz que toda sequência monótona é convergente. Mas, atenção: se uma sequência monótona não for limitada, ela não converge. Por exemplo, a sequência é monótona crescente porque cada termo é maior que o anterior, mas ela não é limitada, já que cresce sem parar. Portanto, essa sequência não é convergente.

Resposta

Falso. Por exemplo, a sequência é monótona crescente, mas não é convergente.

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