Considere

Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função definida por partes. Isso envolve entender como cada parte da função se comporta em diferentes intervalos de . Vamos precisar conhecer os conceitos de funções quadráticas e lineares, além de saber como desenhar gráficos dessas funções separadamente e depois combiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função e para quais valores de cada uma é válida:
  • Para , a função é (uma função quadrática).
  • Para , a função é (uma função linear).

Passo 3

Vamos começar com a parte quadrática para . Essa é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. O vértice dessa parábola está em . Vamos desenhar essa parábola apenas para os valores de menores que 1.

Passo 4

Agora, vamos para a parte linear para . Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em . Vamos desenhar essa reta começando em e seguindo para valores maiores de .

Passo 5

É importante verificar o valor da função em para garantir que os dois gráficos se conectem corretamente. Substituindo na função linear, temos:
Já na função quadrática, se colocarmos (mesmo que não faça parte do domínio dessa parte), teríamos:
Isso mostra que os dois gráficos se encontram no ponto , garantindo continuidade no gráfico geral.

Passo 6

Finalmente, juntamos os dois gráficos:
  • A parábola para .
  • A reta para .
    O ponto de encontro é , onde a parábola e a reta se tocam.

Resposta

O gráfico de é composto por uma parábola que abre para cima definida por para e uma reta com inclinação 1 definida por para , que se conectam no ponto .

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Calcule .
.
  • Encontre a solução geral da equação diferencial dada.