integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 tan (x) sec (y) d x d y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
integral0^pi2 integral0^pi2 tan(x) cdot sec(y) , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função de duas variáveis, e , sobre um retângulo definido pelos limites de integração de a para ambos e . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e lembrar das definições das funções trigonométricas e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como resolver uma integral dupla. Geralmente, resolvemos uma integral dupla iterando duas integrais simples. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante, e depois integrar o resultado em relação à segunda variável.
Neste caso, podemos escolher integrar primeiro em relação a integral0^pi2 tan(x) cdot sec(y) , dx e depois em relação a . Então, vamos focar na integral interna:
Aqui, é tratado como uma constante em relação a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna:
integral tan(x) cdot sec(y) , dx
Como sec(y) integral tan(x) , dx é constante em relação a integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C , podemos tirá-la da integral:
sec(y) cdot [-ln|cos(x)|] + C
Sabemos que a integral de sec(y) cdot [-ln|cos(pi2)| + ln|cos(0)|] em relação a sec(y) cdot [-ln(0) + ln(1)] = sec(y) cdot [-(-infty) + 0] = sec(y) cdot infty = infty é:
Portanto:
Agora, aplicamos os limites de de a :
Sabemos que e . Então:

Passo 4

O resultado da integral interna é infinito. Isso significa que, independentemente do valor de integral0^pi2 infty , dy = infty , a integral em relação a não converge para um valor finito.
Agora, ao tentar integrar esse resultado infinito em relação a :
A integral dupla, portanto, também resulta em infinito.

Resposta

O valor da integral dupla é infinito.

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