Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função de duas variáveis,
e
, sobre um retângulo definido pelos limites de integração de
a
para ambos
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e lembrar das definições das funções trigonométricas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como resolver uma integral dupla. Geralmente, resolvemos uma integral dupla iterando duas integrais simples. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante, e depois integrar o resultado em relação à segunda variável.
Neste caso, podemos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, vamos focar na integral interna:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Portanto:
Agora, aplicamos os limites de
de
a
:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
O resultado da integral interna é infinito. Isso significa que, independentemente do valor de
, a integral em relação a
não converge para um valor finito.
Agora, ao tentar integrar esse resultado infinito em relação a
:
A integral dupla, portanto, também resulta em infinito.
Resposta
O valor da integral dupla é infinito.
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Considere
Esboce o gráfico de