Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral de
na região onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de integração dupla e, possivelmente, considerar uma mudança na ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 até
, e
variando de 0 até 1. Isso forma um triângulo no primeiro quadrante do plano
, abaixo da linha
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla:
A função
pode ser separada em
, mas isso não resolve diretamente a integral porque ainda temos termos complicados.
Passo 4
Vamos tentar mudar a ordem de integração, o que pode simplificar o cálculo. Ao inverter a ordem,
variará de
até 1, e
ainda varia de 0 até 1. Assim, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Infelizmente, a integral de
não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, ou seja, não conseguimos expressá-la de forma simples usando funções básicas.
Passo 6
Nesse caso, usamos a função erro (
) que é definida como:
No entanto, nossa integral é
, que está relacionada a uma função conhecida como
(função erro imaginária):
Passo 7
Utilizando essa função, podemos expressar a integral em termos de
:
Essa integral ainda é complexa e geralmente não é resolvida em termos de funções elementares, mas podemos representar a resposta final usando
.
Resposta
A integral dupla é expressa em termos da função erro imaginária (
) e fica:
Para obter um valor numérico, seria necessário usar métodos numéricos ou software de cálculo que suporte funções especiais.