integral0^1 integral0^x e^x^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral de na região onde e . Para isso, vamos usar conceitos de integração dupla e, possivelmente, considerar uma mudança na ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 até , e variando de 0 até 1. Isso forma um triângulo no primeiro quadrante do plano , abaixo da linha .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla:
integral0^1 integral0^x e^x^2+y^2 , dy , dx
A função pode ser separada em , mas isso não resolve diretamente a integral porque ainda temos termos complicados.

Passo 4

Vamos tentar mudar a ordem de integração, o que pode simplificar o cálculo. Ao inverter a ordem, integral0^1 integraly^1 e^x^2+y^2 , dx , dy variará de até 1, e ainda varia de 0 até 1. Assim, a integral se torna:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integraly^1 e^x^2+y^2 , dx = e^y^2 integraly^1 e^x^2 , dx :
Infelizmente, a integral de não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, ou seja, não conseguimos expressá-la de forma simples usando funções básicas.

Passo 6

Nesse caso, usamos a função erro ( erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 , dt ) que é definida como:
erfi(x) = -i cdot erf(i x) = 2raizpi integral0^x e^t^2 , dt
No entanto, nossa integral é , que está relacionada a uma função conhecida como (função erro imaginária):

Passo 7

Utilizando essa função, podemos expressar a integral em termos de integral0^1 integral0^x e^x^2+y^2 , dy , dx = integral0^1 e^x^2 cdot raizpi2 erfi(x) , dx :
Essa integral ainda é complexa e geralmente não é resolvida em termos de funções elementares, mas podemos representar a resposta final usando .

Resposta

A integral dupla é expressa em termos da função erro imaginária ( integral0^1 integral0^x e^x^2+y^2 , dy , dx = raizpi2 integral0^1 e^x^2 erfi(x) , dx ) e fica:
Para obter um valor numérico, seria necessário usar métodos numéricos ou software de cálculo que suporte funções especiais.

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