Considere
f(x) = { x^2 + 2 se x < 1, 2x + 1 se x ≥ 1 }
Sem fazer cálculos é possível afirmar que f é contínua em 1?

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada que muda a fórmula dependendo do valor de . Quando é menor que 1, usamos , e quando é maior ou igual a 1, usamos . A pergunta é: sem fazer cálculos complicados, dá para dizer se essa função é contínua em ? Aqui, estamos falando sobre continuidade, que é quando a função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para que seja contínua em , três coisas precisam acontecer:
  1. A função precisa estar bem definida.
  2. O limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja, chegando em 1 vindo de valores menores) precisa existir.
  3. O limite de quando se aproxima de 1 pela direita (ou seja, chegando em 1 vindo de valores maiores) também precisa existir.
  4. E, finalmente, esses dois limites precisam ser iguais e iguais a .

Passo 3

Vamos olhar para a definição de . Quando é menor que 1, a função é . Se pensarmos em chegando bem perto de 1 por valores menores, o que acontece? Substituindo por 1, teríamos . Isso significa que o limite pela esquerda é 3.

Passo 4

Agora, para valores de maiores ou iguais a 1, a função é . Se se aproxima de 1 por valores maiores, substituindo por 1, temos . Então, o limite pela direita também é 3.

Passo 5

Além disso, olhando diretamente a definição da função em , vemos que quando , usamos a fórmula , o que dá .

Passo 6

Então, temos que:
  • O limite pela esquerda é 3.
  • O limite pela direita é 3.
  • é 3.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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