Considere
Sem fazer cálculos é possível afirmar que
é contínua em 1?
Passo 1
Então, a gente tem uma função chamada
que muda a fórmula dependendo do valor de
. Quando
é menor que 1, usamos
, e quando é maior ou igual a 1, usamos
. A pergunta é: sem fazer cálculos complicados, dá para dizer se essa função é contínua em
? Aqui, estamos falando sobre continuidade, que é quando a função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para que
seja contínua em
, três coisas precisam acontecer:
- A função
precisa estar bem definida. - O limite de
quando se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja, chegando em 1 vindo de valores menores) precisa existir. - O limite de
quando se aproxima de 1 pela direita (ou seja, chegando em 1 vindo de valores maiores) também precisa existir. - E, finalmente, esses dois limites precisam ser iguais e iguais a
.
Passo 3
Vamos olhar para a definição de
. Quando
é menor que 1, a função é
. Se pensarmos em
chegando bem perto de 1 por valores menores, o que acontece? Substituindo
por 1, teríamos
. Isso significa que o limite pela esquerda é 3.
Passo 4
Agora, para valores de
maiores ou iguais a 1, a função é
. Se
se aproxima de 1 por valores maiores, substituindo
por 1, temos
. Então, o limite pela direita também é 3.
Passo 5
Além disso, olhando diretamente a definição da função em
, vemos que quando
, usamos a fórmula
, o que dá
.
Passo 6
Então, temos que:
- O limite pela esquerda é 3.
- O limite pela direita é 3.
-
é 3.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.