Considere
Verifique se
é derivável em 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função
, que é definida por partes, é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e a continuidade das funções. Vamos dar uma olhada em cada parte para ver como resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
é contínua em
, porque uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável lá. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, e comparar com o valor de
.
Passo 3
Calculando o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Agora, calculando o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor de
, que é:
Isso mostra que a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
pelas duas direções em
e ver se elas são iguais.
Derivada pela esquerda (
):
A função é
, então a derivada é:
Derivada pela direita (
):
A função é
, então a derivada é:
Passo 5
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em
são iguais (
), isso significa que a função
é derivável nesse ponto.
Resposta
A função
é derivável em
, com a derivada igual a 2.