Considere
f(x) = { x^2 + 2 se x < 1, 2x + 1 se x ≥ 1 }
Verifique se f é derivável em 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função , que é definida por partes, é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e a continuidade das funções. Vamos dar uma olhada em cada parte para ver como resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em , porque uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável lá. Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, e comparar com o valor de .

Passo 3

Calculando o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Agora, calculando o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor de , que é:
Isso mostra que a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular as derivadas de pelas duas direções em e ver se elas são iguais.
Derivada pela esquerda ( ):
A função é , então a derivada é:
Derivada pela direita ( ):
A função é , então a derivada é:

Passo 5

Como as derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais ( ), isso significa que a função é derivável nesse ponto.

Resposta

A função é derivável em , com a derivada igual a 2.

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