Encontre valores apropriados para
e
de modo que a função
seja derivável em 1 e faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
e
para que a função
seja derivável em
. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
seja contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite pelo lado direito, e ambos devem ser iguais ao valor de
.
Então, calculamos:
Para continuidade:
Isso nos dá a primeira equação:
.
Passo 3
Agora, para a função ser derivável em
, as derivadas da esquerda e da direita em
precisam ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de cada parte da função:
Para
:
Então, a derivada pelo lado esquerdo em
é:
Para
:
Então, a derivada pelo lado direito em
é:
Para diferenciabilidade:
Isso nos dá a segunda equação:
.
Passo 4
Agora que temos
, podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Resposta
Os valores apropriados são
e
.