Encontre valores apropriados para m e b de modo que a função
f(x) = { x² se x < 1, m x + b se x ≥ 1 }
seja derivável em 1 e faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função
seja derivável em . Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite pelo lado direito, e ambos devem ser iguais ao valor de .
Então, calculamos:
Para continuidade:
Isso nos dá a primeira equação: .

Passo 3

Agora, para a função ser derivável em , as derivadas da esquerda e da direita em precisam ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de cada parte da função:
Para :
Então, a derivada pelo lado esquerdo em é:
Para :
Então, a derivada pelo lado direito em é:
Para diferenciabilidade:
Isso nos dá a segunda equação: .

Passo 4

Agora que temos , podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores apropriados são e .

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