Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites em Cálculo, usando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento da função cosseno e seno próximos a
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função cotangente em termos de seno e cosseno. Sabemos que:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
e
quando
se aproxima de
pela esquerda (ou seja, valores de
um pouco menores que
).
Passo 4
Sabemos que:
À medida que
se aproxima de
pela esquerda,
se aproxima de
e
se aproxima de
a partir de valores positivos.
Passo 5
Substituindo esses comportamentos na expressão do limite, temos:
Aqui,
indica que
está se aproximando de
por valores positivos.
Passo 6
A fração
tende a
porque estamos dividindo um número negativo por um número muito pequeno positivo. Multiplicando isso por
, que se aproxima de
, temos:
Resposta
O limite
é igual a
.