lim x pi^- x cotg x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites em Cálculo, usando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento da função cosseno e seno próximos a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função cotangente em termos de seno e cosseno. Sabemos que:
cot(x) = cos(x)sin(x)
Então, a expressão do limite fica:
limx pi^- x cdot cos(x)sin(x)

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de e quando se aproxima de pela esquerda (ou seja, valores de um pouco menores que ).

Passo 4

Sabemos que:
cos(pi) = -1 e sin(pi) = 0
À medida que se aproxima de pela esquerda, se aproxima de e se aproxima de a partir de valores positivos.

Passo 5

Substituindo esses comportamentos na expressão do limite, temos:
limx pi^- x cdot cos(x)sin(x) = limx pi^- x cdot -10^+
Aqui, indica que está se aproximando de por valores positivos.

Passo 6

A fração pi cdot (-infty) = -infty tende a porque estamos dividindo um número negativo por um número muito pequeno positivo. Multiplicando isso por , que se aproxima de , temos:

Resposta

O limite é igual a .

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