Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função de duas variáveis,
, é contínua ou descontínua no seu domínio. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites em várias direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
No nosso caso, precisamos verificar isso no ponto
.
Passo 3
Vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
. A função é dada por:
Queremos ver se:
Passo 4
Para calcular esse limite, vamos testar caminhos diferentes que
pode seguir para chegar a
. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é esse valor. Se não, a função não é contínua.
Passo 5
Vamos primeiro tentar o caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função:
Agora, calculando o limite quando
tende a 0:
Esse resultado depende do valor de
, o que já indica que o limite pode variar com o caminho escolhido.
Passo 6
Vamos testar valores específicos de
. Por exemplo:
- Se
:
- Se
(caminho ao longo do eixo ):
Vemos que quando
, o limite é 0, diferente de 2.
Passo 7
Como o limite depende do caminho escolhido e obtemos resultados diferentes (como 2 e 0), isso significa que o limite geral:
não existe ou não é igual a 2.
Resposta
A função
é descontínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule a
derivada das funções seguintes:
Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:
Considere
Verifique se
é derivável em 1.
Dada a equação
, resolva-a encontrando sua solução geral três vezes, usando três métodos diferentes.