Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função de duas variáveis, , é contínua ou descontínua no seu domínio. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites em várias direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
No nosso caso, precisamos verificar isso no ponto .

Passo 3

Vamos analisar o limite de quando se aproxima de . A função é dada por:
Queremos ver se:

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos testar caminhos diferentes que pode seguir para chegar a . Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é esse valor. Se não, a função não é contínua.

Passo 5

Vamos primeiro tentar o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo por na função:
Agora, calculando o limite quando tende a 0:
Esse resultado depende do valor de , o que já indica que o limite pode variar com o caminho escolhido.

Passo 6

Vamos testar valores específicos de . Por exemplo:
  • Se :
  • Se (caminho ao longo do eixo ):
Vemos que quando , o limite é 0, diferente de 2.

Passo 7

Como o limite depende do caminho escolhido e obtemos resultados diferentes (como 2 e 0), isso significa que o limite geral:
não existe ou não é igual a 2.

Resposta

A função é descontínua no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das funções seguintes:
Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:
Considere
Verifique se é derivável em 1.
Dada a equação , resolva-a encontrando sua solução geral três vezes, usando três métodos diferentes.