Considere
f(x) = { x^2, se x < 1; x + 1 se x ≥ 1 }
A equação f(x) = 3/2 tem solução? Em caso afirmativo, quantas soluções ela possui?

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para encontrar se a equação tem solução, e se tiver, quantas soluções ela possui. Estamos lidando com uma função definida por partes, então vamos precisar entender como ela se comporta em cada intervalo. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a primeira parte da função: quando . Queremos saber para quais valores de nessa faixa a função é igual a . Então, vamos resolver a equação:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Mas lembrando que estamos considerando apenas , precisamos verificar quais dessas soluções são menores que 1.

Passo 3

Calculando a raiz quadrada:
Então as soluções são aproximadamente e . Como estamos no intervalo , apenas é válida nessa parte da função.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: quando . Queremos encontrar tal que:
Resolvendo para :
Mas essa solução está fora do intervalo , então não é válida nessa parte da função.

Passo 5

Resumindo nossos achados:
  • Na primeira parte da função ( ), encontramos uma solução válida: .
  • Na segunda parte da função ( ), não encontramos soluções válidas.

Resposta

Sim, a equação tem uma única solução: .

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