Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e suas derivadas primeira
e segunda
. O objetivo é descobrir em quais intervalos a função está aumentando ou diminuindo e identificar seus pontos de máximo e mínimo local. Para isso, vamos usar as derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função, que são os valores de
onde a derivada primeira
é igual a zero ou não existe. Estes pontos são importantes porque podem indicar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
A derivada primeira dada é:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor de
, então a única solução é:
Passo 3
Agora, vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente analisando o sinal da derivada primeira
nos intervalos definidos pelo ponto crítico
.
-
Para
:
Escolhemos, por exemplo,: Comoé negativo, a função está decrescente nesse intervalo. -
Para
:
Escolhemos, por exemplo,: Comoé positivo, a função está crescente nesse intervalo.
Passo 4
Para identificar se o ponto crítico
é um máximo ou mínimo local, usamos a derivada segunda
.
A derivada segunda dada é:
Calculando
:
Como
é positivo, significa que a função tem uma concavidade para cima nesse ponto, indicando que
é um mínimo local.
Resposta
A função
é decrescente no intervalo
e crescente no intervalo
. Além disso, possui um mínimo local no ponto
.