Considere . Determine as seguintes informações sobre .
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e suas derivadas primeira e segunda . O objetivo é descobrir em quais intervalos a função está aumentando ou diminuindo e identificar seus pontos de máximo e mínimo local. Para isso, vamos usar as derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função, que são os valores de onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Estes pontos são importantes porque podem indicar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
A derivada primeira dada é:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor de , então a única solução é:

Passo 3

Agora, vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente analisando o sinal da derivada primeira nos intervalos definidos pelo ponto crítico .
  • Para :
    Escolhemos, por exemplo, :
    Como é negativo, a função está decrescente nesse intervalo.
  • Para :
    Escolhemos, por exemplo, :
    Como é positivo, a função está crescente nesse intervalo.

Passo 4

Para identificar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo local, usamos a derivada segunda .
A derivada segunda dada é:
Calculando :
Como é positivo, significa que a função tem uma concavidade para cima nesse ponto, indicando que é um mínimo local.

Resposta

A função é decrescente no intervalo e crescente no intervalo . Além disso, possui um mínimo local no ponto .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de uma função com todas as características abaixo:
  • para
  • para e
  • para e , para e
  • e
Seja .
(a) Encontre os intervalos onde é crescente e onde é decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Considere . Determine as seguintes informações sobre .
(b) As intersecções com os eixos e .
Considere . Determine as seguintes informações sobre .
(d) Os intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão.