Considere . Determine as seguintes informações sobre .
(d) Os intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função e, especificamente, encontrar os intervalos onde ela é côncava para cima ou para baixo, além de identificar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especialmente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a segunda derivada da função, que já foi dada como . Vamos simplificar isso para facilitar a análise:

Passo 3

Agora, precisamos determinar onde é positiva ou negativa. Lembrando que é sempre positivo para qualquer valor de , então o sinal de depende apenas de .

Passo 4

Vamos encontrar quando :
Como nunca é zero, temos:

Passo 5

Então, o ponto é onde a concavidade pode mudar. Agora, vamos testar os intervalos criados por esse ponto para ver a concavidade:
  1. Para :
    A função é côncava para baixo.
  2. Para :
    A função é côncava para cima.

Passo 6

Como a concavidade muda em , esse ponto é um ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima no intervalo . Além disso, é um ponto de inflexão.

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Determine: (b) sabendo que sen ;