Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
(d) Os intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão.
(d) Os intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função
e, especificamente, encontrar os intervalos onde ela é côncava para cima ou para baixo, além de identificar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especialmente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a segunda derivada da função, que já foi dada como
. Vamos simplificar isso para facilitar a análise:
Passo 3
Agora, precisamos determinar onde
é positiva ou negativa. Lembrando que
é sempre positivo para qualquer valor de
, então o sinal de
depende apenas de
.
Passo 4
Vamos encontrar quando
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 5
Então, o ponto
é onde a concavidade pode mudar. Agora, vamos testar os intervalos criados por esse ponto para ver a concavidade:
-
Para
: A função é côncava para baixo. -
Para
: A função é côncava para cima.
Passo 6
Como a concavidade muda em
, esse ponto é um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
. Além disso,
é um ponto de inflexão.
Exercícios relacionados
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
(b) As intersecções com os eixos e
.
(b) As intersecções com os eixos
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
(a) O domínio e assíntotas vericais/horizontais
(a) O domínio e assíntotas vericais/horizontais
Determine: (b)
sabendo que
sen
;