Considere f(x) = x * e^x, f'(x) = x * e^x + e^x, f''(x) = (x + 1) * e^x + e^x. Determine as seguintes informações sobre f.
(a) O domínio e assíntotas vericais/horizontais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos dá a função e suas derivadas. A gente precisa descobrir o domínio dessa função e as assíntotas verticais e horizontais associadas a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio de . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida para todos os números reais, ou seja, . E como estamos multiplicando por , que também está definido para todos os reais, o domínio de é:
í

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem quando a função tende ao infinito positivo ou negativo próximo a certos valores de .
Mas, como nossa função está definida para todo e não tem denominadores que possam se anular, não há assíntotas verticais.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando tende a ou e a função se aproxima de um valor finito.
Vamos analisar os limites:
Para :
A função cresce sem limite, então não há assíntota horizontal nesse caso.
Para :
Aqui, a função se aproxima de zero. Portanto, temos uma assíntota horizontal em:

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais ( ), não possui assíntotas verticais e apresenta uma assíntota horizontal em .

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