Considere
A função
é derivável em 1? Esboce os gráficos de
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é derivável no ponto
. Para isso, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e continuidade. Também precisamos saber como calcular derivadas de funções polinomiais simples.
Passo 2
Antes de verificar a derivabilidade em
, vamos confirmar se a função é contínua nesse ponto. Uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável nele.
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) e pela direita (
):
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor de
:
A função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a derivabilidade em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais e ver se elas são iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de
para
e para
:
Para
:
Para
:
Agora, calculamos as derivadas no ponto
:
Derivada pela esquerda (
):
Derivada pela direita (
):
Passo 4
Comparando as derivadas laterais:
Como
, a derivada não existe em
. Portanto, a função
não é derivável nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos esboçar os gráficos de
e de
.
Gráfico de
:
- Para
, a função é uma parábola . - Para
, é uma reta .
No ponto
, as duas funções se conectam perfeitamente em
.
Gráfico de
:
- Para
, a derivada é , que é uma reta. - Para
, a derivada é constante .
No ponto
, há uma descontinuidade nas derivadas: de 2 para 1.
Resposta
A função
não é derivável em
porque as derivadas laterais não coincidem nesse ponto. O gráfico de
é uma combinação de uma parábola e uma reta que se conectam em
, enquanto o gráfico da derivada
apresenta uma descontinuidade no mesmo ponto.
Exercícios relacionados
Considere
.
Se , use a definição de derivada para obter
.
Se
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.