Considere
A função é derivável em 1? Esboce os gráficos de e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é derivável no ponto . Para isso, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e continuidade. Também precisamos saber como calcular derivadas de funções polinomiais simples.

Passo 2

Antes de verificar a derivabilidade em , vamos confirmar se a função é contínua nesse ponto. Uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável nele.
Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ):
Para :
Então,
Para :
Então,
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor de :
A função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a derivabilidade em . Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais e ver se elas são iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de para e para :
Para :
Para :
Agora, calculamos as derivadas no ponto :
Derivada pela esquerda ( ):
Derivada pela direita ( ):

Passo 4

Comparando as derivadas laterais:
Como , a derivada não existe em . Portanto, a função não é derivável nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos esboçar os gráficos de e de .
Gráfico de :
  • Para , a função é uma parábola .
  • Para , é uma reta .
No ponto , as duas funções se conectam perfeitamente em .
Gráfico de :
  • Para , a derivada é , que é uma reta.
  • Para , a derivada é constante .
No ponto , há uma descontinuidade nas derivadas: de 2 para 1.

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas laterais não coincidem nesse ponto. O gráfico de é uma combinação de uma parábola e uma reta que se conectam em , enquanto o gráfico da derivada apresenta uma descontinuidade no mesmo ponto.

Exercícios relacionados

Considere .
Se , use a definição de derivada para obter .
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.