Considere
.
Se
, use a definição de derivada para obter
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada dela em um ponto
usando a definição de derivada. Isso envolve entender conceitos básicos de cálculo diferencial, como limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Isso significa que a derivada representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na definição, temos:
Passo 4
Para calcular esse limite, vamos utilizar uma técnica de racionalização. Sabemos que:
Isso simplifica para:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, ao fazer
, temos
. Então, as raízes na expressão se tornam:
Passo 7
Portanto, a derivada fica:
Isso pode ser reescrito usando expoentes fracionários:
Resposta
A derivada de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Utilize a definição de derivada para determinar
, caso exista.
Considere
A função
é derivável em 1? Esboce os gráficos de
e
.
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.