Considere .
Se , use a definição de derivada para obter .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada dela em um ponto usando a definição de derivada. Isso envolve entender conceitos básicos de cálculo diferencial, como limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que a derivada representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na definição, temos:

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos utilizar uma técnica de racionalização. Sabemos que:
Isso simplifica para:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 6

Agora, ao fazer , temos . Então, as raízes na expressão se tornam:

Passo 7

Portanto, a derivada fica:
Isso pode ser reescrito usando expoentes fracionários:

Resposta

A derivada de no ponto é:

Exercícios relacionados

Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Utilize a definição de derivada para determinar , caso exista.
Considere
A função é derivável em 1? Esboce os gráficos de e .
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.