Considere f(x) = { x^2 sen(1/x) se x ≠ 0; 0 se x = 0 } Decida se f é contínua em p = 0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A matéria envolvida aqui é continuidade de funções. Precisamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de 0 existe.
  3. Esse limite é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. está definida:
Pelo enunciado, . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Calcular o limite de quando tende a 0:
Queremos calcular:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por , que é sempre positivo:

Passo 5

Agora, sabemos que:
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se e ambos os limites laterais são 0, então:

Passo 6

3. Comparar o limite com :
Encontramos que:
Como os dois são iguais, a terceira condição também está satisfeita.

Resposta

A função é contínua em .

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