Considere
Decida se
é contínua em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A matéria envolvida aqui é continuidade de funções. Precisamos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de 0 existe. - Esse limite é igual a
.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1.
está definida:
Pelo enunciado,
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Calcular o limite de
quando
tende a 0:
Queremos calcular:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por
, que é sempre positivo:
Passo 5
Agora, sabemos que:
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se
e ambos os limites laterais são 0, então:
Passo 6
3. Comparar o limite com
:
Encontramos que:
Como os dois são iguais, a terceira condição também está satisfeita.
Resposta
A função
é contínua em
.
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Enuncie precisamente o Teorema do Anulamento e o Teorema de Weierstrass
Mostre, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
.