Considere
.
Esboce o gráfico de
.
Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo das funções logarítmicas em matemática. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logarítmicas se comportam, identificar o domínio da função, encontrar assíntotas, pontos importantes e então desenhar o gráfico com base nessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo natural,
, só está definido para
. No nosso caso,
, então:
Isso significa que nosso gráfico só existirá para valores de
maiores que 2.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a assíntota vertical. Para funções do tipo
, existe uma linha vertical que a função nunca toca, que ocorre onde o argumento do logaritmo é zero. No nosso caso:
Portanto,
é a assíntota vertical do gráfico.
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos chave para ajudar a desenhar o gráfico. Por exemplo:
-
Quando
: Então, o ponto (3, 0) está no gráfico. -
Quando
(onde é aproximadamente 2,718): Então, o pontotambém está no gráfico. -
Quando
se aproxima de 2 pela direita ( ): Isso confirma que o gráfico desce indefinidamente perto da assíntota vertical.
Passo 5
Vamos entender o comportamento geral da função:
- Crescimento: À medida que
aumenta, também aumenta, mas de forma desacelerada. - Assíntota: O gráfico se aproxima da linha
à medida que se aproxima de 2, mas nunca a toca. - Intercepto: Já vimos que o gráfico passa pelo ponto (3, 0).
Resposta
Com base nos passos anteriores, o gráfico de
é uma curva que está definida para
, possui uma assíntota vertical em
, passa pelo ponto (3, 0) e cresce lentamente conforme
aumenta. A curva se aproxima da assíntota à medida que
se aproxima de 2 e sobe suavemente para a direita.
Exercícios relacionados
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função
, onde a variável
é dada em anos e
e
são constantes.
Esboce o gráfico da função para
.
Esboce o gráfico da função
Encontre a solução de
Considere
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de
Na expressão
, o valor de
é: