Considere .
Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo das funções logarítmicas em matemática. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logarítmicas se comportam, identificar o domínio da função, encontrar assíntotas, pontos importantes e então desenhar o gráfico com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo natural, , só está definido para . No nosso caso, , então:
Isso significa que nosso gráfico só existirá para valores de maiores que 2.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a assíntota vertical. Para funções do tipo , existe uma linha vertical que a função nunca toca, que ocorre onde o argumento do logaritmo é zero. No nosso caso:
Portanto, é a assíntota vertical do gráfico.

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos chave para ajudar a desenhar o gráfico. Por exemplo:
  • Quando :
    Então, o ponto (3, 0) está no gráfico.
  • Quando (onde é aproximadamente 2,718):
    Então, o ponto também está no gráfico.
  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
    Isso confirma que o gráfico desce indefinidamente perto da assíntota vertical.

Passo 5

Vamos entender o comportamento geral da função:
  • Crescimento: À medida que aumenta, também aumenta, mas de forma desacelerada.
  • Assíntota: O gráfico se aproxima da linha à medida que se aproxima de 2, mas nunca a toca.
  • Intercepto: Já vimos que o gráfico passa pelo ponto (3, 0).

Resposta

Com base nos passos anteriores, o gráfico de é uma curva que está definida para , possui uma assíntota vertical em , passa pelo ponto (3, 0) e cresce lentamente conforme aumenta. A curva se aproxima da assíntota à medida que se aproxima de 2 e sobe suavemente para a direita.

Exercícios relacionados

Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função , onde a variável é dada em anos e e são constantes.
Esboce o gráfico da função para .
Encontre a solução de
Considere .
Esboce o gráfico de .
Na expressão , o valor de é: