Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função , onde a variável é dada em anos e e são constantes.
Esboce o gráfico da função para .

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde a função que representa o número de indivíduos em uma população é dada por , onde está em anos e e são constantes. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função para no intervalo de 0 a 40 anos. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e entender como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da função . Essa é uma função exponencial de decaimento, pois a base é menor que 1 quando . Funções exponenciais de decaimento diminuem à medida que aumenta.

Passo 3

Vamos identificar os pontos chave para esboçar o gráfico:
  • Interseção com o eixo y: Quando ,
    Portanto, o gráfico passa pelo ponto .
  • Comportamento à medida que aumenta: Conforme cresce, se aproxima de 0. Isso significa que também se aproxima de 0, mas nunca chega a zero. Então, a linha é uma assíntota horizontal do gráfico.

Passo 4

Vamos considerar alguns valores de para ver como se comporta:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Como , quanto maior o valor de , menor será .

Passo 5

Com base nos pontos identificados e no comportamento da função, podemos esboçar o gráfico:
  1. O gráfico começa no ponto .
  2. Ele decresce de forma suave, aproximando-se da linha conforme aumenta.
  3. Não há pontos onde a função cruza o eixo x, já que nunca é exatamente zero.

Resposta

O gráfico da função para no intervalo de 0 a 40 anos é uma curva decrescente que começa no ponto e se aproxima da linha à medida que aumenta, formando uma assíntota horizontal em .

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