Considere para . Existe ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o limite de uma função quando se aproxima de 0 pela direita ( ). A função está definida para intervalos de entre e , onde é um número natural ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e sequências numéricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta conforme se aproxima de 0. Observe que conforme aumenta, os intervalos ficam cada vez menores e mais próximos de 0. Isso significa que, à medida que se aproxima de 0, tende a crescer.

Passo 3

Agora, vamos analisar os valores que assume para cada . Como , quando é par, , e quando é ímpar, . Portanto, à medida que se aproxima de 0, alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar.

Passo 4

Para determinar o limite , precisamos verificar se existe um único valor que se aproxima conforme se aproxima de 0 pela direita. No nosso caso, não está se aproximando de um único valor; ao invés disso, está alternando entre 1 e -1 sem se estabilizar em nenhum desses valores.

Passo 5

Como o limite exige que a função se aproxime de um único número, e no nosso caso isso não acontece (porque continua mudando entre 1 e -1), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

Não existe o limite .

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(d)