Considere
Mostre onde a função é descontínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente identificar onde a função é descontínua. A função é uma função por partes, o que significa que ela é definida por diferentes expressões dependendo do valor de . Para descobrir onde ela é descontínua, vamos precisar entender o que é uma descontinuidade e como identificar pontos onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma descontinuidade. Uma função é contínua em um ponto se, ao se aproximar desse ponto por valores menores e maiores, os limites laterais existem e são iguais ao valor da função naquele ponto. Se algum desses limites não existir ou não for igual, temos uma descontinuidade.

Passo 3

Agora, vamos olhar para onde a função muda de definição. Na nossa função, isso acontece em e . Esses são os pontos candidatos para possíveis descontinuidades. Vamos analisar cada um deles:
  1. Em :
    • Limite pela esquerda ( ): Usamos a expressão . À medida que se aproxima de 0 por valores negativos, se aproxima de 0.
    • Limite pela direita ( ): Usamos a expressão . À medida que se aproxima de 0 por valores positivos, se aproxima de 3.
    • Como os limites laterais são diferentes (0 ≠ 3), existe uma descontinuidade em .
  2. Em :
    • Limite pela esquerda ( ): Usamos a expressão . Quando se aproxima de 3 por valores menores, se aproxima de 0.
    • Limite pela direita ( ): Usamos a expressão . À medida que se aproxima de 3 por valores maiores, se aproxima de 0, então toda a expressão se aproxima de 2.
    • Novamente, os limites laterais são diferentes (0 ≠ 2), então há uma descontinuidade em .

Passo 4

Não precisamos verificar outros pontos além de onde a função muda de definição, já que dentro de cada intervalo a função é contínua pelas suas próprias expressões.

Resposta

A função é descontínua nos pontos e .

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