Encontre os valores das constantes a e b que tornam a função f contínua no intervalo I = (-infinito, +infinito) e na sequência faça um esboço do seu gráfico
f(x) = { 2x + 1 se x <= 3, ax + b se 3 < x < 5, x^2 + 2 se x >= 5 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes e para que a função seja contínua em todo o intervalo . Isso significa que não pode ter “saltos” ou “interrupções” no gráfico da função. Para conseguir isso, vamos analisar os pontos onde a definição da função muda, ou seja, nos pontos e . Vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções e igualar os limites laterais nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o valor da função quando se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima pela direita.
A função para é .
Para , a função é .
Vamos calcular o limite da esquerda:
E o limite da direita:
Igualando os dois limites para garantir a continuidade:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir a continuidade em . A função para é e para é .
Calculamos o limite quando se aproxima de 5 pela esquerda:
E o limite pela direita:
Igualando os limites para continuidade:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:

Passo 5

Agora que encontramos , substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores das constantes que tornam a função contínua em todo o intervalo são e .

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