Encontre os valores das constantes a e que tornam a função contínua no intervalo e na sequência faça um esboço do seu gráfico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes e para que a função seja contínua em todo o intervalo . Isso significa que não pode ter “saltos” ou “interrupções” no gráfico da função. Para conseguir isso, vamos analisar os pontos onde a definição da função muda, ou seja, nos pontos e . Vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções e igualar os limites laterais nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o valor da função quando se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima pela direita.
A função para é .
Para , a função é .
Vamos calcular o limite da esquerda:
E o limite da direita:
Igualando os dois limites para garantir a continuidade:
çã
Passo 3
Agora, vamos garantir a continuidade em . A função para é e para é .
Calculamos o limite quando se aproxima de 5 pela esquerda:
E o limite pela direita:
Igualando os limites para continuidade:
çã
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 5
Agora que encontramos , substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar :
Resposta
Os valores das constantes que tornam a função contínua em todo o intervalo são e .