(RA2) Considere a equação diferencial . Verifique se é solução dessa EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para verificar se uma função específica é solução dessa equação. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas segunda e primeira da função dada e substituir na equação para ver se tudo se encaixa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que vamos verificar:
Aqui, e são constantes que fazem parte da solução geral da equação diferencial homogênea associada.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada . Lembrando que a derivada de é e aplicando a regra do produto para os termos que são multiplicação de funções:
Simplificando:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada . Novamente, aplicamos as regras de derivação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar termo a termo:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Coeficiente de :
  4. Termos com :
  5. Termos com :
  6. Termo constante:
  7. Termo :
Agora, somando todos os termos:

Passo 7

A equação diferencial original é:
Com nossa substituição, encontramos:
Para que a igualdade seja verdadeira para todo , os termos extras devem ser zero. Porém, isso só acontece se , o que não é o caso para todo .

Resposta

A função dada não é solução da equação diferencial apresentada.

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