(RA2) Considere a equação diferencial
. Verifique se
é solução dessa EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para verificar se uma função específica é solução dessa equação. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas segunda e primeira da função dada e substituir na equação para ver se tudo se encaixa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que vamos verificar:
Aqui,
e
são constantes que fazem parte da solução geral da equação diferencial homogênea associada.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada
. Lembrando que a derivada de
é
e aplicando a regra do produto para os termos que são multiplicação de funções:
Simplificando:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada
. Novamente, aplicamos as regras de derivação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar termo a termo:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
: -
Termos com
: -
Termos com
: -
Termo constante:
-
Termo
:
Agora, somando todos os termos:
Passo 7
A equação diferencial original é:
Com nossa substituição, encontramos:
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, os termos extras
devem ser zero. Porém, isso só acontece se
, o que não é o caso para todo
.
Resposta
A função dada não é solução da equação diferencial apresentada.
Exercícios relacionados
Encontre
.
Considere
.
Determinar .
Determinar
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
Determine o comprimento da curva
para
.