Considere . Determinar .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a derivada de uma função no ponto x = 0. A função é . Aqui, vamos usar os conceitos de derivadas, especificamente a regra do produto e a derivada de funções compostas. Vamos precisar conhecer como derivar funções polinomiais, funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o produto de duas funções: e . Para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Podemos reescrever essa função como . Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Usando a derivada de funções trigonométricas e a regra da cadeia, obtemos:

Passo 5

Com as derivadas de e encontradas, aplicamos a regra do produto:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão para :

Passo 7

Por fim, vamos avaliar em :
Primeiro, calculamos .
Então:
Sabemos que e , então:

Resposta

Assim, . Se preferir uma forma decimal aproximada, isso é aproximadamente 0,513.

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