Considere
. Determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a derivada de uma função no ponto x = 0. A função é
. Aqui, vamos usar os conceitos de derivadas, especificamente a regra do produto e a derivada de funções compostas. Vamos precisar conhecer como derivar funções polinomiais, funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar
, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. Podemos reescrever essa função como
. Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Usando a derivada de funções trigonométricas e a regra da cadeia, obtemos:
Passo 5
Com as derivadas de
e
encontradas, aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão para
:
Passo 7
Por fim, vamos avaliar
em
:
Primeiro, calculamos .
Primeiro, calculamos
Então:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Assim,
. Se preferir uma forma decimal aproximada, isso é aproximadamente 0,513.
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, verifique se a solução encontrada está correta.