Utilize a definição de derivada para determinar f'(a), caso exista. f(x) = raiz(1 - 2x), a = -4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a definição de derivada para encontrar , se existir, para a função no ponto . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas usando o limite do quociente incremental.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é o limite de quando se aproxima de 0. Matemáticamente, escrevemos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função. Substituindo e na fórmula da derivada, temos:

Passo 4

Vamos simplificar dentro das raízes. Primeiro, para :
E para :
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Sabemos que , então:
Para resolver esse limite que envolve uma diferença de raízes, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é . Fazendo isso, temos:

Passo 6

No numerador, usamos a identidade :
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar cancelando o no numerador e denominador:
Agora, podemos substituir :

Resposta

O valor da derivada para é .

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