Utilize a definição de derivada para determinar
, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a definição de derivada para encontrar
, se existir, para a função
no ponto
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas usando o limite do quociente incremental.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é o limite de
quando
se aproxima de 0. Matemáticamente, escrevemos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função. Substituindo
e
na fórmula da derivada, temos:
Passo 4
Vamos simplificar dentro das raízes. Primeiro, para
:
E para
:
Então, nossa expressão fica:
Passo 5
Sabemos que
, então:
Para resolver esse limite que envolve uma diferença de raízes, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Fazendo isso, temos:
Passo 6
No numerador, usamos a identidade
:
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar cancelando o
no numerador e denominador:
Agora, podemos substituir
:
Resposta
O valor da derivada
para
é
.