Considere f(x) = raiz(sen(x) + cos(3x) + 1).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (0, raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos achar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Isso envolve usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Vamos usar a regra da cadeia aqui, porque temos uma função composta dentro da raiz quadrada.
A derivada de em relação a é , onde . Então, vamos calcular :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora precisamos encontrar a derivada no ponto , ou seja, . Vamos substituir na expressão que encontramos:
Primeiro, calculamos e em :
Agora, substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de 2^a ordem continuas e satisfaz a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
z=x^2+2 x y
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(b) g(x) = raiz(x + 1) / (x - 2)
Encontre a derivada das funções abaixo.
(a) f(x) = raiz4(e^(3x) + 1)
Se existem, calcule os seguintes limites:
(f) lim x longrightarrow-4(x^2-16(x-4)^2)