Se
tem derivadas parciais de
ordem continuas e satisfaz a equação de Laplace
, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a função
é harmônica. Isso significa que precisamos checar se ela satisfaz a equação de Laplace, que envolve as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
. Para isso, vamos calcular essas derivadas e ver se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
:
E a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Começando com a derivada de segunda ordem em relação a
:
E a derivada de segunda ordem em relação a
:
Passo 4
Agora, somamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Para que a função seja harmônica, essa soma precisa ser igual a zero.
Resposta
Como
, a função
não é harmônica.
Exercícios relacionados
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(b)
(b)
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(a)
(a)
Considere
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
Encontre a derivada das funções abaixo.
(a)
(a)