Considere
Verifique se é derivável em 0.
Respostas: (a) é contínua em 0 (b) não é derivável em 0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: Temos uma função definida de forma diferente para e para , e queremos verificar se ela é derivável em 0. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em 0. A função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
A função dada é:
Vamos calcular o limite de quando tende a 0:
Sabemos que para qualquer . Portanto:
Como , pelo Teorema do Squeeze, temos:
Como esse limite é igual a , a função é contínua em 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é derivável em 0. Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada em 0:
No entanto, oscila entre -1 e 1 conforme se aproxima de 0, e não se aproxima de nenhum valor específico. Portanto, esse limite não existe.

Resposta

(b) não é derivável em 0.

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