Considere
Verifique se
é derivável em 0.
Respostas: (a)
é contínua em 0 (b)
não é derivável em 0
Respostas: (a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: Temos uma função definida de forma diferente para
e para
, e queremos verificar se ela é derivável em 0. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em 0. A função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
A função dada é:
Vamos calcular o limite de
quando
tende a 0:
Sabemos que para qualquer
. Portanto:
Como
, pelo Teorema do Squeeze, temos:
Como esse limite é igual a
, a função
é contínua em 0.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é derivável em 0. Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada em 0:
No entanto, oscila entre -1 e 1 conforme
se aproxima de 0, e não se aproxima de nenhum valor específico. Portanto, esse limite não existe.
Resposta
(b)
não é derivável em 0.
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