Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com a análise de pontos críticos usando o teste da derivada segunda. A questão nos dá as segundas derivadas parciais de uma função
no ponto crítico (0,0) e pede para determinar que informação isso nos fornece sobre o comportamento da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função
é onde as primeiras derivadas parciais
e
são iguais a zero. Nesse caso, sabemos que a origem (0,0) é um ponto crítico, então
e
.
Passo 3
Agora, para analisar se esse ponto crítico é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela, usamos o teste da derivada segunda. Esse teste envolve calcular o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico, que é dada por:
Passo 4
Vamos calcular o determinante
com os valores fornecidos:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Com o valor de
, que é maior que zero (
), analisamos o sinal de
:
Segundo o teste da derivada segunda:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Resposta
Como
e
, o ponto crítico na origem é um máximo local.
Exercícios relacionados
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes:
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b) ;
b)
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
a)
a)
Considere
. Encontre: