Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d) f_xx(0,0)=-3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com a análise de pontos críticos usando o teste da derivada segunda. A questão nos dá as segundas derivadas parciais de uma função no ponto crítico (0,0) e pede para determinar que informação isso nos fornece sobre o comportamento da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função é onde as primeiras derivadas parciais e são iguais a zero. Nesse caso, sabemos que a origem (0,0) é um ponto crítico, então e .

Passo 3

Agora, para analisar se esse ponto crítico é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela, usamos o teste da derivada segunda. Esse teste envolve calcular o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico, que é dada por:

Passo 4

Vamos calcular o determinante com os valores fornecidos:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Com o valor de , que é maior que zero ( ), analisamos o sinal de :
Segundo o teste da derivada segunda:
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Resposta

Como e , o ponto crítico na origem é um máximo local.

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Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes: sumn=1^infty (x+1)^nn cdot 2^n
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b) f_xx(0,0)=-2, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2;
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
a) f_xx(0,0)=2, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2
Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: DC f(x)