A equação x e^y z+sen(x y^3)^4=ln z-y z^2. Defina z implicitamente em função de x e y e determine partial zpartial x e partial zpartial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma equação onde está definido de forma implícita em função de e . A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Precisamos saber como diferenciar funções que estão embutidas umas nas outras e aplicar as regras de derivação corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que temos:
x e^y z + (sin(x y^3))^4 = ln z - y z^2
Nosso objetivo é encontrar e . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e depois em relação a , lembrando que é uma função de e .

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a partialpartial x( x e^y z ) + partialpartial x( (sin(x y^3))^4 ) = partialpartial x( ln z - y z^2 ) :
e^y z + x e^y z cdot y partial zpartial x + 4 (sin(x y^3))^3 cos(x y^3) y^3 = 1z partial zpartial x - y cdot 2 z partial zpartial x
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, isolamos x e^y z y partial zpartial x + 4 (sin(x y^3))^3 cos(x y^3) y^3 = 1z partial zpartial x - 2 y z partial zpartial x - e^y z - 4 (sin(x y^3))^3 cos(x y^3) y^3 :
( x e^y z y - 1z + 2 y z ) partial zpartial x = - e^y z
Agrupando os termos com :

Passo 5

Finalmente, resolvemos para partial zpartial x = - e^y z x e^y z y - 1z + 2 y z :

Resposta

partial zpartial x = - e^y z x e^y z y - 1z + 2 y z

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